Fourier-transformasjon

Fourier-transformasjon (ofte forkorta til FT) er ei lineæravbilding som transformerer ein funksjon av reelle variablar med komplekse verdiar til ein annan^[1][2]. I applikasjonar som signalhandsaming transformerer ein typisk frå tidsplanet til frekvensplanet. Dette kan samanliknast med at ein akkord i musikk kan skildrast av notane som vert spelt. Så i praksis så dekomponerer fouriertransformasjonen ein funksjon, eller eit signal, i ein sum av oscillerande funksjonar, som kan uttrykkast som ${\displaystyle \cos }$- og ${\displaystyle \sin }$-funksjonar, eller som ein sum av eksponentialfunksjonar.

Fourier-transformasjon og generaliseringane er emne i Fourier-analyse. Det er mogeleg å definere Fourier-transformasjonen til ein funksjon av fleire variablar, noko som til dømes er viktig i det fysiske studiet av bølgjer og biletehandsaming. Det er òg mogleg å generalisere Fourier-transformasjonen på diskrete strukturar som endelege grupper.

Definisjon

Det finst fleire vanlege måtar å definere fouriertransformasjonen av ein integrerbar funksjon. Denne artikkelen nyttar definisjonen:

${\displaystyle X(\omega ):=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)\ e^{-j\omega t}\,dt,}$  for ${\displaystyle t}$ ∈ ${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$,

der ${\displaystyle j={\sqrt {-1}}}$. Når variabelen ${\displaystyle x(t)}$ representerer tid (med SI-eininga sekund), representerer transformasjonsvariabelen ${\displaystyle X(\omega )}$ vinkelfrekvens, som kan konverterast til temporal frekvens ${\displaystyle f=\omega /(2\pi )}$ (i Hz). Etter som Fourier-transformasjonen dekomponerer signalet ${\displaystyle x(t)}$ i frekvenskomponentar ${\displaystyle X(\omega )}$, med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla analyselikninga.

Invers Fourier-transformasjon

Invers transformasjon, som typisk transformerer frå frekvensplanet til tidsplanet, vert definert som^[3]

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }X(\omega )\ e^{j\omega t}d\omega ,}$   for alle reelle t.

Faktoren ${\displaystyle 1/(2\pi )}$ er ein skaleringskonstant, som syter for at energien er den same i tids- og frekvensplanet; sjå Parsevals teorem. Etter som den inverse Fourier-transformasjonen syntiserer eit signalet ${\displaystyle x(t)}$ i tidsplanet, som ein sum av ulike oscillerande bølgjer (frekvenskomponentar) ${\displaystyle X(\omega )}$, med ulik frekvens og amplitude, vert ho kalla symteseselikninga.

Samanhengen med Laplace-transformasjonen

Fourier-transformasjonen kan sjåast på som eit spesialtilfelle av den to-sidige Laplace-transformasjonen. Laplace-transformasjonen transformerer eit signal til det komplekse ${\displaystyle s}$-planet, der ${\displaystyle s=\sigma +j\omega }$ er ein kompleks frekvensvariabel. I samband med Fourier-transfroma er realdelen ${\displaystyle \sigma }$ sett til null. slik at ein ender ein opp med den imaginære delen av frekvensvariabelen ${\displaystyle j\omega }$, som ligg på den imaginære aksen i ${\displaystyle s}$-planet. At dei ulike Fouirer-komponentane (frekvens-komponentane) ligg på den imaginære aksen betyr at dei er periodiske. Fourier-transformasjonen er med andre ord eit speialtilfelle av Laplace-transformasjonen, som vert nytta når signalet ${\displaystyle x(t)}$ er periodiskt.

Eigenskapar

Linearitet

Fouriertransformasjonen er ei lineæravbilding:

${\displaystyle {\mathcal {F}}\left[af(t)+bg(t)\right]=a{\mathcal {F}}[f(t)]+b{\mathcal {F}}[g(t)]=aF(\omega )+bG(\omega )}$

Funksjonsprodukt og folding

For produkt av funksjonar gjeld

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t)*g(t)]&=F(\omega )G(\omega )\\{\mathcal {F}}[f(t)g(t)]&={\frac {1}{2\pi }}F(\omega )*G(\omega ),\\\end{alignedat}}}$

her markerer ${\displaystyle *}$ ein foldingsoperator (konvolusjon).

Tids- og frekvensforskyving

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t-T)]&=e^{-i\omega T}F(\omega )\\{\mathcal {F}}[e^{i\Omega t}f(t)]&=F(\omega -\Omega ).\\\end{alignedat}}}$

Derivasjon

For deriverte av funksjonar gjeld

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}\left[{\frac {d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}}\right]&=(i\omega )^{(n)}F(\omega )\\{\mathcal {F}}[(-it)^{n}f(t)]&={\frac {d^{(n)}F(\omega )}{d\omega ^{(n)}}}.\\\end{alignedat}}}$