Kropp i matematikk

Ein kropp ${\displaystyle (F,+,\cdot )}$ med identitetselement ${\displaystyle 0}$ og ${\displaystyle 1}$ er ein algebraisk struktur slik at

• ${\displaystyle (F,+)}$ er ei abelsk gruppe med identitet ${\displaystyle 0}$.
• ${\displaystyle (F^{*},\cdot )}$ er ei abelsk gruppe med identitet ${\displaystyle 1\neq 0}$.
• ${\displaystyle \cdot }$ distribuerer over +: ${\displaystyle a(b+c)=ab+ac}$ og ${\displaystyle (a+b)c=ac+bc}$.

Her er ${\displaystyle F^{*}}$ mengda av alle element i ${\displaystyle F}$ unnateke ${\displaystyle 0}$.

Døme er kroppane ${\displaystyle \mathbb {Q} }$, ${\displaystyle \mathbb {R} }$ og ${\displaystyle \mathbb {C} }$ av respektive rasjonale tal, reelle tal og komplekse tal, men også kvotientkroppen ${\displaystyle R[x]/(f)}$, der ${\displaystyle f}$ er eit irredusibelt polynom, og kroppen av konstruerbare tal.

Eksempel på ein endeleg kropp

Den minste ikkjetrivielle kroppen er ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{0,1\}}$, der binæroperasjonane ${\displaystyle +}$ og ${\displaystyle \cdot }$ er definert som i tabellane
${\displaystyle {\begin{array}{c|c|c}+&0&1\\\hline 0&0&1\\\hline 1&1&0\end{array}}\quad {\text{og}}\quad {\begin{array}{c|c|c}\cdot &0&1\\\hline 0&0&0\\\hline 1&0&1.\end{array}}}$

Sjå også

• Gruppe i matematikk
• Ring i matematikk
• Endeleg kropp