Ring i matematikk

Ring er i matematikk ein algebraisk struktur med to binæroperasjonar, addisjon og multiplikasjon, som har mange av dei same eigenskapane som finst hjå heiltala. Mengda av heile tall, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$, saman med den vanlege definisjonen av addisjon og multiplikasjon, er eit døme på ein ring. Mengda av alle matriser er eit døme på ein ikkje-kommutativ ring.

Definisjon

Ein ring ${\displaystyle R}$ er ein ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$, der ${\displaystyle R}$ er ei mengd og ${\displaystyle +:R\times R\to R}$ og ${\displaystyle \cdot :R\times R\to R}$ binæroperasjonar slik at følgande aksiom held. For alle ${\displaystyle a,b,c\in R}$ har me:

• (assosiativitet) ${\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}$
• (kommutativitet) ${\displaystyle a+b=b+a}$
• (additiv identitet) Det finst eit element ${\displaystyle 0\in R}$ slik at ${\displaystyle 0+a=a+0=a}$
• (multiplikativ identitet) Det finst eit element ${\displaystyle 1\in R}$ slik at ${\displaystyle 1\cdot a=a\cdot 1=a}$
• (additiv invers) Det finst eit element ${\displaystyle d\in R}$ slik at ${\displaystyle a+d=0}$
• (distributivitet) ${\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}$ og ${\displaystyle (a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c}$

${\displaystyle (R,+)}$ er med andre ord ei abelsk gruppe og ${\displaystyle (R,\cdot )}$ er ei semigruppe.

Vidare definisjoner

• ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ er ein kommutativ ring viss ${\displaystyle \cdot }$ også er kommutativ: ${\displaystyle a\cdot b=b\cdot a}$ for alle ${\displaystyle a,b\in R}$.
• ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ er ein kropp viss ${\displaystyle (R^{*},\cdot )}$ dannar ei gruppe, der ${\displaystyle R^{*}}$ er mengden av alle elementer i ${\displaystyle R}$ utanom den additive identiteten ${\displaystyle 0}$.

Døme på ringar

• polynomringen ${\displaystyle R[x]}$ av alle polynom med koeffisientar i ein kommutativ ring ${\displaystyle R}$
• ringen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ av heiltal
• Den endelege ringen ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$ under addisjon og multiplikasjon modulo ${\displaystyle n}$ for eit naturleg tal ${\displaystyle n}$

Sjå også

• Gruppe
• Kropp