Sampling

Sampling, tasting, eller punktprøving, er ein operasjon der ein måler amplituden til eit analogt signal ved (vanlegvis) faste tidspunkt. Sampling diskretiserer tidsaksen, slik at ein endar opp med ein sekvens av analoge måleverdiar. Med analoge måleverdiane meiner ein at amplituden ikkje er diskretisert. I praksis vil amplituden som oftast verta diskretisert (kvantisert) av ein etterfylgjande AD-omformar.

Fig. 1 Blokkdiagram for digital signalhandsaming..

For andre tydingar av oppslagsordet, sjå musikksampling.

Grunngjeving for å sampla

Når eit tidskontinuerleg signal skal handsamast eller lagrast på digital form må det først konverterast til ein sekvens av binære ord. Fig. 1 syner korleis eit system for sanntids digital signalhandsaming er bygt opp. Blokka til venstre konverterer eit analogt signal ${\displaystyle u(t)}$ til ein sekvens av binære ord ${\displaystyle unt)}$. Blokka i midten i fig. 1, merka «Algoritme», utfører ei eller anna form for filtrering, eller annan operasjon, av sekvensen ${\displaystyle u(n)}$. Resultatet av denne prosesseringa er den binære sekvensen ${\displaystyle y(n)}$, som vert konvertert til eit tidskontinuerleg analogt signal av den blå blokka til høgre i Fig. 1. Dette vert kalla rekonstruksjon. Om målet er å analysera signalet ${\displaystyle u(t)}$ trengst ikkje rekonstruksjonsblokka til høgre i Fig. 1.

Kvantisering i tid og amplitude

Det analoge signalet ${\displaystyle u(t)}$ er kontinuerleg både i tid og amplitude. At signalet er tidskontinuerleg tyder at verdien ${\displaystyle u(t)}$ er definert for alle tidsverdiar ${\displaystyle t}$. At signalet er analogt tyder at alle verdiar, innan gitte minimum- og maksimumverdiar, er definerte, slik at signalet har ein kontinerleg varierande amplitude. Når eit slikt analogt signal skal konverterast til ein sekvens av binære ord må det kvantiserast både i tid og amplitude. Innan digital signalhandsaming vert kvantisering langs tids-aksen kalla sampling, tasting, eller punktprøving, og kvantisering langs amplitideaksen vert kalla kvantisering. På det viset held ein kvantisering av tid og amplitude frå kvarandre. Å sampla er med andre ord det same som å ta prøvar av amplituden med faste tidsinterval, kalla sampelintervalet ${\displaystyle T}$, kalla sampelintervalet. Denne operasjonen vert utført av blokka merka Sampler i Fig. 1. I staden for å nytta sampelintervalet arbeider ein ofte med sampelfrekvensen ${\displaystyle f_{s}=1/T}$, som har eining Hz. Sampelfrekvensen kan variera over eit stort område, frå nokre Hz til fleie GHz. Men prinsippet for sampling og kvantisering er det same uavhengig av sampelfrekvensen. Men til høgare sampelfrekvensen er til meir reknekapasitet trengst det for å handsame signalet.

Fig. 2 To alternativ for kvantisering av amplitude- og tidsaksane.

Fig. 3 S/H-krins.

I prinsippet spelar det ingen rolle kva for operasjon, sampling eller kvantisering, som vert utført fyrst, som illustrert i fig. 2. Men på grunn av at AD-omformaren treng litt tid til å konvertera frå det analoge signalet på inngangen til eit binært ord vert samplinga utført fyrst, slik som i Fig. 1. Uansett kva for fysisk parameter signalet ${\displaystyle u(t)}$ representerer vert det alltid omforma til ei elektrisk spenning før omforming. AD-omformaren har som oppgåve å omforma spenninga ${\displaystyle u_{s}(t)}$ på inngangen til ein binær verdi ${\displaystyle u(n)}$. Spenninga ${\displaystyle u_{s}(t)}$ må haldast stabil gjennom heile sampelintervalet ${\displaystyle T}$ for at AD-omformaren skal vera i stand til å finna binærverdien ${\displaystyle u(n)}$ som tilsvarar inngangsspenninga ${\displaystyle u_{s}(t)}$. Brytaren i boksen merka «Sampler» i fig. 1 vert difor stengt i eit kort tidsinterval på starten av kvar sampelperiode, slik at spenninga på inngangen av bytaren vert lagra på ein liten kondensator, som illustrert i fig. 3. Brytaren vert så opna att, kondensatoren held spenninga ${\displaystyle u_{s}(t)}$ på inngangen av AD-omformaren konstant gjennom resten av sampelintervalet, slik at AD-omformaren får tid til å finna fram til binærverdien som tilsvarar ${\displaystyle u_{s}(t)}$. Dette vert kalla ein Sample and Hold-krins, ofte forkorta til S/H-krins. I praksis er brytaren ein transistor, som vert stengt/opna av eit klokkesignal C.

Modellering av sampling i tidsplanet

Fig. 4 Sampelkrins.
a) Brytarmodell
b) PAM-modell.

Fig. 5 Sampling sett i tidsplanet.
a) Analogt inngangssignal ${\displaystyle u(t)}$
b) Sampelsekvens ${\displaystyle s(t)}$
c) Sampla sekvens ${\displaystyle u(n)}$.

Punktprøvinga kan modellerast som ein brytar, som vert opna og stengd av impulssekvens ${\displaystyle s(t)}$, som illustrert i Fig. 4 a). Men krinsen kan òg modellerast som multiplikasjon mellom inngangssignalet ${\displaystyle u(t)}$ og impulssekvensen ${\displaystyle s(t)}$, ofte kalla sampelfunksjonen, som vist i Fig. 4 b). Sampelsekvensen kan uttrykkast

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)}$

der T er sampelintervalet. Denne impulssekvensen er illustrert i Fig. 5 b), der ${\displaystyle T}$ er sampelintervallet. Operasjonen i Fig. 4 b) er Puls Amplitude Modulasjon (PAM). I tidsplanet kan vi uttrykkje det sampla signalet ${\displaystyle u_{s}(t)}$ som:

${\displaystyle u_{s}(t)=u(t)s(t)}$.

Denne multiplikasjonen, eller PAM-modulasjonen, fører til at det tidskontinuerlege analoge inngangssignalet ${\displaystyle u(t)}$), Fig 5 a), vert sampla (spenninga vert målt) ved sampelpunkta

${\displaystyle t=nT}$, for ${\displaystyle n}$ = ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...

Denne diskretiseringa kan modellerast som

${\displaystyle u(n)=\lim _{\epsilon \to 0}\int _{t=nT-\epsilon }^{nT+\epsilon }u(t)s(t)dt}$.

Ein står da att med den tidsdiskrete sekvensen i Fig. 5 c), som er definert berre ved sampelpunkta ${\displaystyle t=nT}$.

Etter som sampelintervalet ${\displaystyle T}$ er konstant kan ein forenkla notasjonen og skriva berre ${\displaystyle n}$ i staden for ${\displaystyle nT}$ og ${\displaystyle u(n)}$ i staden for ${\displaystyle u(nT)}$.

Modellering av sampling i frekvensplanet

Fig. 6 Amplitudespekteret til eit sampla signal.
a) ${\displaystyle U(\omega )}$
b) ${\displaystyle S(\omega )}$
c) ${\displaystyle U_{s}(\omega )}$ når ${\displaystyle \omega _{M}<2\omega _{a}}$
d) ${\displaystyle U_{s}(\omega )}$ når ${\displaystyle \omega _{M}>2\omega _{a}}$.

For å få betre innsikt i samplingprosessen er det nyttig å studera han i frekvensplanet. Ein finn frekvensresponsen til ${\displaystyle u(t)}$ ved å ta fouriertransformasjonen av ${\displaystyle u(t)}$. Ettersom ${\displaystyle u(t)}$ er eit tidskontinuerleg signal må vi nytta ein kontinuerleg fouriertransformasjon:

${\displaystyle U(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }u(t)e^{-j\omega t}dt}$.

Fouriertransformasjon av impulssekvensen ${\displaystyle s(t)}$ resulterer i

${\displaystyle S(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }s(t)e^{-j\omega t}dt=\int _{-\infty }^{\infty }\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (t-nT)e^{-j\omega t}dt}$.

${\displaystyle ={\frac {2\pi }{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -{\frac {2\pi k}{T}})}$,

som syner at ein impulssekvens i tidsplanet resulterer i ein impulssekvens i frekvensplanet.

Etter som multiplikasjon i tidsplanet svarar til folding i frekvensplanet (multiplisert med ${\displaystyle 1/(2\pi )}$) kan frekvensresponssen til ${\displaystyle u(t)}$ uttrykkjast som

${\displaystyle U_{s}(\omega )={\frac {1}{2\pi }}U(\omega )*S(\omega )={\frac {1}{2\pi }}U(\omega )*{\frac {2\pi }{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (\omega -{\frac {2\pi k}{T}})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }U(\omega -k\omega _{s})}$,

der * er foldningsoperatoren. Dette syner at sampling resulterer i at spekteret til det sampla signalet vert periodiskt repetert; dvs. spekteret til det opphavlege signalet ${\displaystyle U(k)}$, Fig. 6 a), vert repetert for kvar harmoniske komponent, vist i fig. 6 b), av sampelfrekvensen, Fig. 6 c).

Samplingsteoremet

I Fig. 6 c) og 6 d) er ${\displaystyle \omega _{M}=2\pi f_{M}}$ frekvenskomponenten med høgaste frekvens i inngangssignalet ${\displaystyle u(t)}$. I Fig. 6) er ${\displaystyle \omega _{M}<\omega _{s}/2}$ og det er ikkje overlapp mellom dei periodisk repeterte spektrum ${\displaystyle U(\omega -k\omega _{s})}$. I Fig. 6 d), derimot, er ${\displaystyle \omega _{M}>\omega _{s}/2}$, noko som medfører at det vert overlapp mellom dei periodisk repeterte spektera ${\displaystyle U(\omega -k\omega _{s})}$. Dette fenomenet vert kalla frekvensaliasing (eller berre aliasing). Aliasing fører til at dei periodisk repeterte spektruma vert overlagra kvarandre, noko som betyr at det ikkje lengre vert mogleg å skapa att det opphavlege signalet ${\displaystyle u(t)}$ frå sampelpunkta. Det opphavlege signalet kan berre skapast att når dei periodisk repeterte spektruma ikkje overlappar kvarandre, noko som krev at ${\displaystyle \omega _{M}<2\pi f_{M}}$.

Dette er Nyquist–Kotelnikov-Shannon sitt samplingsteorem:

Eit tidskontinuerleg signal u(t) som berre inneheld frekvenskomponentar under ${\displaystyle f_{s}/2}$ kan rekonstruerast eksakt frå den sampla sekvensen ${\displaystyle u(t)=U(nT)}$.

Samplingsteoremet seier berre at signalet kan skapast att, det seier ingen ting om korleis rekonstruksjonen skal utførast. For ei gitt bandbreidd ${\displaystyle f_{M}}$ på signalet ${\displaystyle u(t)}$ krev samplingsteoremet at sampelfrekvensen ${\displaystyle f_{s}>2f_{M}}$. For å unngå aliasing er det, for en gitt sampelfrekvens ${\displaystyle f_{s}}$, nødvendig å avgrensa bandbreidda til signalet ${\displaystyle u(t)}$ før det vert sampla. Dette gjer ein ved å plassera eit lågpassfilter før sample og hald-krinsen, som illustrert i Fig. 1. På grunn av at dette filteret har som oppgåve å hindra aliasing, vert det kalla eit antialiasingfilter.

Samplingsteoremet vert ofte kalla Nyquist sitt samplingsteorem, etter Harry Nyquist, som publiserte det i 1924^[1]. Vladimir Kotelnikov publiserte liknande resultat i 1933^[2] og Claude Shannon i 1949^[3].

Etter som altialiasingfilteret må vera eit analogt filter har det ulineær faserespons. I somme samanhengar kan den ulineære fasen vera problematisk, men han kan alltids rettast opp med ein faseequialiser realisert på diskret form (som eit digitalt filter) i den etterfylgjande prosesseringa.