Symmetrisk matrise

Ei symmetrisk matrise er ei matrise som er lik transponeringa si. Formelt er ei matrise M symmetrisk viss og berre viss ${\displaystyle M=M^{T}}$. Berre kvadratiske matriser, altså matriser med like mange kolonnar som radar, kan vera symmetriske.

Døme

${\displaystyle M={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&4&5\\3&5&6\end{pmatrix}}}$

Matrisa M er symmetrisk ettersom ${\displaystyle M=M^{T}}$.

Matrisa A nedanføre vil der i mot ikkje vera symmetrisk:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&2\\3&4&5\\3&1&6\end{pmatrix}},~~A^{T}={\begin{pmatrix}1&3&3\\2&4&1\\2&5&6\end{pmatrix}},~~A\neq A^{T}.}$

Eigenskapar

Ei reell symmetrisk matrise har nokre spesielle eigenskapar utover ei vanleg matrise. Følgjande eigenskapar følgjer frå spektralteoremet for symmetriske matriser

• Eigenvektorar tilhøyrande ulike eigenverdiar er ortogonale
• Det vil vera n reelle eigenverdiar gjeve at matrisa er av dimensjon n x n.
• Dimensjonen av eigerommet for ein eigenverdi ${\displaystyle \lambda }$ er det samme som multiplisiteten av rota ${\displaystyle \lambda }$ i det karakteristiske polynomet
• Ei symmetrisk matrise vil alltid vera diagonaliserbar