Dirac-formalisme

Dirac-formalisme, elller bra-ket-notasjon, benyttes i lineær algebra hvor operatorer virker i et komplekst vektorrom. Den ble oppfunnet av den engelske fysiker Paul Dirac i 1939 for bruk i kvantemekanikk, men kan lett benyttes ved andre anvendelser.

Paul Dirac under en forelesning.

En vektor v omtales som en «ket-vektor» og betegnes med symbolet ${\displaystyle |v\rangle }$, mens en dual vektor u* kalles en «bra-vektor» med betegnelsen ${\displaystyle \langle u|}$. Dermed kan indreproduktet av disse to vektorene skrives som ${\displaystyle \langle u|v\rangle .}$ På denne formen minner dette om en engelsk bracket  hvor bokstaven c  er erstattet med en loddrett strek som skiller vektorene.^[1]

Matrisenotasjon

I et komplekst vektorrom ${\displaystyle \mathbf {C} ^{N}}$ med en basis kan operatorer representeres som N × N matriser. De virker på vektorer som er kolonnematriser og kan betraktes som ket-vektorer. Hvis vektorens komponenter er v_n  hvor indeksen n = 1, 2, ..., N, kan den derfor representeres ved kolonnevektoren

${\displaystyle |v\rangle =(v_{1},v_{2},\ldots ,v_{N})^{T}}$

hvor T  står for transponering.

Når en operator ${\displaystyle {\hat {A}}}$ virker på denne, vil den gi en ny ket-vektor ${\displaystyle |v'\rangle ={\hat {A}}|v\rangle .}$ Da operatoren er representert ved matrisen A = (A_mn) i denne basisen, er hver komponent til denne transformerte vektoren gitt som

${\displaystyle v'_{m}=\sum _{n=1}^{N}A_{mn}v_{n}}$

Den duale vektoren til ket-vektoren ${\displaystyle |v\rangle }$ er bra-vektoren ${\displaystyle \langle v|}$ med komponenter i en radvektor,

${\displaystyle \langle v|=(v_{1}^{*},v_{2}^{*},\ldots ,v_{N}^{*})}$

Formelt finnes den fra kolonnevektoren ${\displaystyle |v\rangle }$ ved kompleks konjugasjon etterfulgt av transponering.^[2]

Indreproduktet mellom en bra-vektor ${\displaystyle \langle u|}$ og ket-vektoren ${\displaystyle |v\rangle }$ kan uttrykkes ved vektorenes komponenter som

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle u|v\rangle &=\sum _{n=1}^{N}u_{n}^{*}v_{n}\\&=u_{1}^{*}v_{1}+u_{2}^{*}v_{2}+\ldots +u_{N}^{*}v_{N}\end{aligned}}}$

Formelt kan derfor bra- og ket-vektorer betraktes som rad- og kolonnevektorer med komplekse komponenter.

Kvantemekanikk

Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beregnes fra en tilstandsvektor ${\displaystyle |\psi \rangle }$ i et komplekst og lineært vektorrom kjent som et Hilbert-rom. Det kan ha uendelig mange dimensjoner og vektorene kan ha indekser som varierer kontinuerlig.

Med en diskret basis i Hilbert-rommet kan denne «ortonormeres» slik at

${\displaystyle \langle m|n\rangle =\delta _{mn}}$

hvor det vanlige Kronecker-deltaet opptrer på høyre side. I denne basisen kan man uttrykke tilstandsvektoren som

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n}\psi _{n}|n\rangle }$,

hvor komponenten ${\displaystyle \psi _{n}=\langle n|\psi \rangle }$ er å betrakte som en «sannsynnlighetsamplitude» som angir graden av sannsynlighet for at systemet befinner seg i tilstand ${\displaystyle |n\rangle .}$

For en partikkel som kan bevege seg langs en linje med kontinuerlig koordinat x, er det naturlig å benytte en koordinatbasis basert på egentilstander ${\displaystyle |x\rangle }$. Deres normering er nå

${\displaystyle \langle x'|x\rangle =\delta (x'-x)}$,

hvor Diracs deltafunksjon opptrer på høyre side.

Bølgefunksjonen til partikkelen er formelt komponenten ${\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle .}$ Den er sannsynlighetsamplituden for at partikkelen skal finnes i punktet x. Indreproduktet mellom to tilstandsvektorer ${\displaystyle |\psi \rangle }$ og ${\displaystyle |\phi \rangle }$ er nå gitt som

${\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle =\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,\phi ^{*}(x)\psi (x)}$.

Denne beskrivelsen lar seg lett utvide til å gjelde for en kvantemekanisk partikkel som kan bevege seg i tre dimensjoner.^[3]