Feltemisjon

Feltemisjon oppstår når et materiale blir utsatt for et så sterkt elektrisk felt at elektroner blir frigjort. Dette kan alternativt gjøres ved termionisk emisjon hvor elektronene inni materialet får tilført så mye varmeenergi at de emitteres. På tilsvarende vis er det energien til fotonene i lyset som frigjør elektroner i den fotoelektriske effekten. At fenomenet likevel kan opptre ved et konstant, elektrisk felt, er i motstrid med klassisk fysikk. Det kunne først forklares ved etablering av kvantemekanikk som tillater tunnelering gjennom overflaten som holder elektronene på plass i materialet.

Skjematisk fremstilling av det elektriske potensialet som elektronet må tunnelere gjennom.

For emisjon fra metaller ble dette først gjort av Ralph Fowler og Lothar Nordheim i 1928. De fant at strømtettheten gjennom overflaten varierer med det elektriske feltet E  som

${\displaystyle J=C{E^{2} \over W}\exp {\Big (}-K{W^{3/2} \over E}{\Big )}}$

hvor W  er metallets arbeidsfunksjon, mens C  og K  er konstanter. Den dominerende faktoren i dette uttrykket er inneholdt i eksponensialfunksjonen som representerer sannsynligheten for tunnelering. Resultatet viste seg snart å stemme overens med eksperimentelle undersøkelser og ga snart opphav til andre konsekvenser av dette kvantemekaniske fenomenet.^[1]

Elektrostatisk feltemisjon er i utgangspunktet lite ønskelig da den kan forårsake elektrisk gjennomslag ved høye spenninger. Men den har i dag også flere praktiske anvendelser som for eksempel dannelse av elektroner for bruk i elektronmikroskop eller moderne flashminnebrikker.

Bakgrunn

På begynnelsen av 1900-tallet hadde Owen Richardson påvist en første lovmessighet for den elektriske strømmen som oppstår fra et oppvarmet materiale ved høye temperaturer i forbindelse med utvikling av glødetråder i lyspærer. Ved slik termionisk emisjon blir elektroner frigjort fra materialets indre. Strømmens størrelse er bestemt av det tilsvarende frigjøringsarbeidet som også opptrer i Einsteins forklaring av fotoemisjon. Denne beskrivelsen ble eksperimentelt bekreftet i laboratoriet til Robert Millikan ved Caltech.^[2]

Sammen med sine medarbeidere satte Millikan i gang målinger av effekten som ytre, elektriske felt hadde på slik emisjon. For feltstyrker større enn 10⁹  V/m fant han da at de termiske effektene ikke lenger spilte noen rolle. Videre kunne han i 1927 vise at logaritmen til den produserte strømmen med god nøyaktighet var omvendt proporsjonal med styrken til det elektriske feltet.^[3] Samme resultat kom også Robert Oppenheimer frem til ved bruk av den nylig etablerte Schrödinger-ligningen for elektroner bundet i et atom. Han viste at denne har som konsekvens at et tilstrekkelig sterkt, elektrisk felt kan rive løs et slikt elektron og dermed gi feltemisjon. Hans beregning inneholdt også en implisitt kvantetunnelering.

På samme tid utviklet Arnold Sommerfeld sin nye beskrivelse av elektroner i et metall. Den var basert på antagelsen av at disse beveger seg fritt som i den tidligere Drude-modellen, men med en hastighetsfordeling som følger fra Fermi-Dirac statistikk. I løpet av 1928 gjorde Fowler og Nordheim bruk av denne nye teorien til å beregne frigjøring av slike elektroner fra metallet. Resultatet viste seg å være i full overensstemmelse med de eksperimentelle resultatene. Dette arbeidet viste at Sommerfelds teori var riktig, men også at partikler kan bevege seg gjennom klassisk forbudte områder ved tunnelering. Allerede samme år kunne George Gamow og andre benytte denne effekten til å forklare alfahenfall av atomkjerner.^[1]

Fowler-Nordheims formel

Et metall kan lede elektrisk strøm. Den består av elektroner som i stor grad beveger seg fritt i dets indre. Før etableringen av kvantemekanikken ble denne egenskapen forklart i Drude-modellen. Elektronene ble holdt på plass i metallet på grunn av de positive ionene i dets krystallgitter. Nær overflaten kan denne tiltrekkende kraften beskrives som et potensial som danner en «potensialbarriere» og holder elektronene innestengt. I det enkleste tilfellet kan man tenke seg at dette forandrer seg med en konstant verdi U₀ når et elektron beveger seg fra innsiden av metallet og ut av dette. Når elektronets totale energi er ϵ, vil det da ikke kunne frigjøres hvis ϵ < U₀. Det er bare mulig hvis det blir tilført ekstra energi. Det kan skje i form av varme ved termionisk emisjon eller absorberer et foton som i fotoelektrisk effekt.^[4]

Hvis man utsetter metallet for et konstant, elektrisk felt, vil ikke denne situasjonen forandres. Inni metallet vil det nulles ut, mens det utenfor z > 0 en overflate i z = 0 gir opphav til et modifisert potensial

${\displaystyle U(z)=U_{0}-eEz}$

hvor man kan anta at feltet E  står vinkelrett på overflaten. Her er - e ladningen et ett elektron. Potensialbarrieren har nå form av en trekant, og elektroner kan fremdeles ikke komme ut forbi overflaten så lenge som deres energi ϵ < U₀. Med denne energien kan de kun befinne seg innenfor overflaten hvor z < 0 eller utenfor i en avstand z > a hvor

${\displaystyle a={U_{0}-\epsilon \over eE}}$

Området 0 < z < a er klassisk forbudt da det ville bety at elektronet her hadde en imaginær hastighet.

Tunnelering

Kort tid etter at kvantemekanikken var formulert i form av Schrödinger-ligningen, kunne Lothar Nordheim påvise hvordan denne nye fysikken tillot partikler til å trenge inn i slike forbudte områder og eventuelt ha en vis sannsynlighet til å tunnelere igjennom. Sammen med Ralph Fowler beregnet de eksakt sannsynligheten for å trenge gjennom en triangelformet potensialbarriere.^[5]

En god tilnærming til dette resultatet kan finnes ved bruk av WKB-approksimasjonen. Den sier at sannsynligheten for at en partikkel med masse m  kan tunnellere gjennom en slik barriere er gitt ved uttrykket

${\displaystyle T(\epsilon )=\exp {\Big (}-2\!\int _{0}^{a}\!dz{\sqrt {{2m \over \hbar ^{2}}[U(z)-\epsilon ]}}{\Big )}}$

hvor ħ = h/2π  er den reduserte Planck-konstanten. Siden potensialet er lineært i avstanden z, kan det lett beregnes og gir

${\displaystyle T(\epsilon )=\exp {\Big (}-{4 \over 3}{\sqrt {2m \over \hbar ^{2}}}{(U_{0}-\epsilon )^{3/2} \over eE}{\Big )}}$

Her er ϵ  energien til partikkelen som skyldes bevegelsen vinkelrett på overflaten, det vil si i z-retning.^[4]

Fermi-gass

Fowler og Nordheim var blant de første som gjorde bruk av Sommerfelds nylig lanserte kvanteteori for elektronene i et metall. Ifølge denne kan de i det indre av dette beskrives som en Fermi-gass av frie partikler som hver har en kinetisk energi

${\displaystyle \epsilon _{\mathbf {p} }={\mathbf {p} ^{2} \over 2m}\equiv \epsilon _{T}+\epsilon _{z}}$

når den splittes opp i en del ϵ_z = p_z²/2m  vinkelrett på overflaten og en del ϵ_T  parallell med denne. Ved vanlige temperaturer kan alle kvantetilstander med energier mindre enn Fermi-energien ϵ_F  betraktes som okkuperte av elektroner.^[2]

Tettheten av elektroner som beveger seg mot overflaten kan nå beregnes fra

${\displaystyle dn_{z}=2f(\epsilon ){d^{2}p_{T}\,dp_{z} \over (2\pi \hbar )^{3}}}$

Her skyldes faktoren 2 at elektronet har et kvantisert spinn med to mulige retninger, mens funksjonen f (ϵ) angir Fermi-Dirac-fordelingen. Da den har verdien f (ϵ) = 1 for ϵ < ϵ_F  og null ellers, betyr det at den transverse energien må ligge i intervallet

${\displaystyle 0<\epsilon _{T}<\epsilon _{F}-\epsilon _{z}}$

Nå er d²p_T = 2π p_T dp_T = 2π m dϵ_T slik at antall elektroner som strømmer mot overflaten, er gitt ved

${\displaystyle dn_{z}={4\pi m \over h^{3}}(\epsilon _{F}-\epsilon _{z})dp_{z}}$

etter en integrasjon over de tilllatte, transverse energiene.

Elektronstrøm

Strømmen av elektroner gjennom overflaten vil nå bare være en mindre del enn hva som finnes fra denne partikkeltettheten da bare en brøkdel gitt ved tunneleringssannsynligheten T(ϵ_z) slipper gjennom potensialbarrieren,

${\displaystyle dJ=ev_{z}T(\epsilon _{z})dn_{z}}$

Da det er elektronene som har energier nærmest Fermi-energien som har den største sannsynlighet for å trenge gjennom, kan man Taylor-utvikle eksponenten som opptrer i denne,

${\displaystyle {\begin{aligned}(U_{0}-\epsilon _{z})^{3/2}&=(W+\epsilon _{F}-\epsilon _{z})^{3/2}\\&=W^{3/2}+{3 \over 2}W^{1/2}(\epsilon _{F}-\epsilon _{z})\end{aligned}}}$

Her er W = U₀ - ϵ_F  frigjøringsenergien som et elektron må tilføres for å slippe ut av metallet. Ved å benytte at v_z dp_z = dϵ_z, er nå den totale strømmen som slipper ut, gitt som

${\displaystyle J={4\pi em \over h^{3}}T(\epsilon _{F})\int _{0}^{\epsilon _{F}}d\epsilon _{z}(\epsilon _{F}-\epsilon _{z})e^{-\alpha (\epsilon _{F}-\epsilon _{z})}}$

hvor

${\displaystyle \alpha ={2W^{1/2} \over eE}{\sqrt {2m \over \hbar ^{2}}}}$

Den nedre grensen i integralet kan skiftes fra 0 til - ∞  uten å forandre dets verdi noe vesentlig. Det tar dermed formen

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!dxxe^{-\alpha x}=\left(-{\partial \over \partial \alpha }\right)\int _{0}^{\infty }\!dxe^{-\alpha x}={1 \over \alpha ^{2}}}$

slik at strømmen blir

${\displaystyle J={4\pi em \over h^{3}}T(\epsilon _{F}){\hbar ^{2} \over 2m}{(eE)^{2} \over 4W}}$

Dette uttrykket kan skrives om til

${\displaystyle J={e^{3}E^{2} \over 8\pi hW}\exp \left(-{4 \over 3}{\sqrt {2m \over \hbar ^{2}}}{W^{3/2} \over eE}\right)}$

som er det forenklete resultatet til Fowler og Nordheim. Det viser at logaritmen til J/E² er proporsjonal med 1/E og i et grafisk plot gir en rett linje med en helningskoeffisient som stemmer med målte verdier for forskjellige metaller.^[5]

For elektriske felt E > 10⁹ V/m blir tunnelbarrieren så tynn at Schottky-effekten spiller inn ved at det utgående elektronet også blir holdt tilbake i metallet av sin egen speilladning. Denne effekten gir dermed et mer komplisert resultat for den emitterte strømmen.^[6]

Skannetunneleringsmikroskop

Nobelprisen i fysikk 1986 gikk til Gerd Binnig og Heinrich Rohrer for oppfinnelsen av skannetunneleringsmikroskopet som gjør det mulig å avbilde enkeltatom på overflaten av faste stoff. Det måler den elektriske strømmen som dannes i en meget spiss elektrode når den pålegges en spenning V  over en avstand L  til materialet. Dermed oppstår et elektrisk felt E = V /L slik at strømmen vil variere eksponensielt med denne avstanden. Da en slik liten strøm kan måles meget nøyaktig tilsvarende avstander av størrelsesorden nanometer, vil den derfor gi et bilde av hvordan atomene er arrangert i overflaten.^[7]