Funktor

Funktorer er tilordninger som kan tenkes på som funksjoner mellom kategorier.

Definisjon

La C and D være kategorier. En (kovariant) funktor F fra C til D er en tilordning som

• til ethvert objekt ${\displaystyle X\in C}$ tilordner et objekt ${\displaystyle F(X)\in D}$,
• til enhver morfi ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}$ tilordner en morfi ${\displaystyle F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D}$ slik at de følgende krav oppfylles:
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ for alle ${\displaystyle X\in C}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}$ for alle morfier ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$ og ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}$

En kontravariant funktor F fra C til D er en tilordning som

• til ethvert objekt ${\displaystyle X\in C}$ tilordner et objekt ${\displaystyle F(X)\in D}$,
• til enhver morfi ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}$ tilordner en morfi ${\displaystyle F(f):F(Y)\rightarrow F(X)\in D}$ slik at de følgende krav oppfylles:
  • ${\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}$ for alle ${\displaystyle X\in C}$
  • ${\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}$ for alle morfier ${\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}$ og ${\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}$

Funktorer må altså bevare identitetsmorfier og komposisjon av morfier.

Eksempler

I kategorien F-vektorrom for en gitt kropp F er de følgende tilordningene funktorer:

• Tilordning av dualrom V* til et vektorrom V.
• Tilordning av homomorfier inn i og ut av V. Hom(V,–) er kovariant og Hom(-,V) er kontravariant.
• Tilordning av F-tensorprodukt med V.