Equacion de Dirac

L'equacion de Dirac qu'ei ua une equacion formulada per Paul Dirac en 1928 dens l'encastre de la sua mecanica quantica relativista de l'electron. Que s'ageish a la cauç d'ua ensajada entà incorporar la Relativitat especiau a modèles quantics, dab ua escritura lineara enter la massa e l'impulsion.

Paul Dirac

Explic

Aquesta equacion que descriu lo comportament de particulas elementàrias d'espins miei sancèrs, com los electrons. Dirac que cercava a transformar l'equacion de Schrödinger entà la hèr invarianta per l'accion deu grop de Lorentz, qu'ei a díser tà la hèr compatible dab los principis de la relativitat especiau.

Aquesta equacion que hè compte d'un biaish naturau de la nocion d'espin introdusida chic de temps abans e que permetó de predíser l'existéncia de las antiparticulas. En efèit, en mei de la solucion correspondenta a l'electron, Dirac que descobrí ua navèra solution correspondenta a ua particula de carga opausada e autes nombres quantics opausats a la e los de l'electron. En 1932, Carl David Anderson, mentre qu'estudiava la radiacion cosmica (shens ligam dab los tribalhs de Dirac), qu'observa, dab ua une crampa de brum, ua particula de carga opausada a la de l'electron e de massa hèra inferiora a la deu proton proton (soleta particula cargada positivament coneishuda a l'epòca). Aquesta particula que's confirmè au seguit estar la qui estó conjecturada per Dirac, lo positron^[1].

Qu'ei de mei de notar que l'operator de Dirac, descobèrt per rasons absoludament fisicas (e teoricas), qu'a en matematicas un usatge indispensable dens le teorème de l'indici demostrat en 1963.

Formulacion matématica

La vertadèra equacion :

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)=\left(mc^{2}\alpha _{0}-\mathrm {i} \hbar c\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\,\right)\psi (\mathbf {x} ,t)}$

on m qu'ei la massa de la particula, c la velocitat de la lum, ${\displaystyle \hbar }$ la constanta de Planck arredusida, x e t las coordinadas dens l'espaci e dens lo temps, e ψ(x, t) ua foncion d'onde de quate composants. (La foncion d'onde qu'a d'estar formulada per un espinor a quate composants, meilèu que per un simple camp escalar, pr'amor de las exigéncias de la relativitat especiau.) Per la fin ${\displaystyle \alpha _{j},\ j=0,1,2,3}$ que son matriças de dimension 4 × 4 hant sus l'espinor ${\displaystyle \psi \,}$ e aperadas matriças de Dirac. En foncion de las matriças de Pauli ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$, que s'i pòt escríver las matriças de Dirac, en la representacion de Dirac (d'autas que son possiblas, com la representacion de Weyl o la representacion de Majorana), en :

${\displaystyle {\begin{matrix}\alpha _{0}=\left({\begin{matrix}I&0\\0&-I\end{matrix}}\right)&,&{\vec {\alpha }}=\left({\begin{matrix}0&{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&0\end{matrix}}\right)\end{matrix}}}$

Qu'ei commun en mecanica quantica de considerar l'operator quantitat de movement ${\displaystyle {\vec {p}}\equiv -\mathrm {i} \hbar {\vec {\nabla }}\,}$ e en aqueth cas l'equacion de Dirac que's torna escríver de mòda condensada :

${\displaystyle \mathrm {i} \hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {p} ,t)=\left(mc^{2}\alpha _{0}+c{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {p}}\,\right)\psi (\mathbf {p} ,t)}$

Que mei, qu'ei naturau de cercar ua formulacion covarianta, çò qui hèm en pausar ${\displaystyle \gamma ^{0}=\gamma _{0}=\alpha _{0}}$ e ${\displaystyle \gamma ^{i}=-\gamma _{i}=\alpha _{0}\alpha _{i}}$ (metrica (+ – – –)), se lo cas ei qu'avem (en adoptar las convencions ${\displaystyle c=1}$ e ${\displaystyle \hbar =1}$) une notacion enqüera mei compacta :

${\displaystyle \left(\not \!p-m\right)\psi (\mathbf {p} ,t)=0}$

on adoptèm la notacion de Feynman ${\displaystyle \not \!a=\gamma _{\mu }a^{\mu }}$.