ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ

ਗਣਿਤ ਵਿੱਚ, n ਡਿਗਰੀ ਦੇ ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ, ਜੋ SU(n) ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, 1 ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ ਵਾਲੇ n×n ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਵਾਸਤਵਿਕ-ਮੁੱਲ ਵਾਲਾ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ, ਨਾ ਕਿ ਆਮ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਵਾਸਤੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਤੌਰ ਤੇ)। ਗਰੁੱਪ ਓਪਰੇਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਗੁਣਨਫਲ ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ, ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ U(n) ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਸਾਰੇ n×n ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਤੋਂ ਬਣੇ ਹੁੰਦਿਆ ਹੈ। ਇੱਕ ਕੰਪੈਕਟ ਕਲਾਸੀਕਲ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, U(n) ਉਹ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ Cⁿ ਉੱਤੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਅੰਦਰੂਨੀ ਗੁਣਨਫਲ ਸੁਰੱਖਿਅਤ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਰੇਖਿਕ ਗਰੁੱਪ ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, SU(n) ⊂ U(n) ⊂ GL(n, C)।

SU(n) ਗਰੁੱਪ ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਦੇ ਸਟੈਂਡਰਡ ਮਾਡਲ ਵਿੱਚ ਵਿਸ਼ਾਲ ਉਪਯੋਗਾਂ ਵਿੱਚ ਵਰਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਖਾਸ ਕਰਕੇ SU(2) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਇਲੈਕਟ੍ਰੋਵੀਕ ਪਰਸਪਰ ਕ੍ਰਿਆ ਵਿੱਚ ਅਤੇ SU(3) ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਕੁਆਂਟਮ ਕ੍ਰੋਮੋਡਾਇਨਾਮਿਕਸ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਸਰਲਤਮ ਮਾਮਲਾ, SU(1) ਸੂਖਮ ਗਰੁੱਪ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਤੱਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਗਰੁੱਪ SU(2), ਨੌਰਮ 1 ਦੇ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸੇ ਕਾਰਨ 3-ਸਫੀਅਰ ਪ੍ਰਤਿ ਡਿੱਫਿਓਮੌਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਕਿਉਂਕਿ ਯੂਨਿਟ ਕੁਆਟ੍ਰਨੀਔਨਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ 3-ਅਯਾਮੀ ਸਪੇਸ (ਸਾਈਨ ਤੱਕ) ਅੰਦਰ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੀਤੀ ਜਾ ਸਕਦੀ ਹੈ, ਇਸਲਈ SU(2) ਤੋਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨ ਗਰੁੱਪ SO(3) ਤੱਕ ਇੱਕ ਸਰਜੈਕਟਿਵ ਹੋਮੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਹੁੰਦੀ ਹੈ, ਜਿਸਦਾ ਕਰਨਲ {+I, −I} ਹੁੰਦਾ ਹੈ। SU(2) ਗਰੁੱਪ ਸਪਿਨੌਰਾਂ ਦੇ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪਾਂ ਸਪਿੱਨ(3) ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਪ੍ਰਤਿ ਮਿਲਦਾ ਜੁਲਦਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਸਪਿੱਨੌਰ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਨੂੰ ਸੰਭਵ ਕਰਦਾ ਹੈ।

ਵਿਸ਼ੇਸ਼ਤਾਵਾਂ

ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ SU(n) ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ (ਹਾਲਾਂਕਿ ਇੱਕ ਕੰਪਲੈਕਸ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਨਹੀਂ) ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇੱਕ ਵਾਸਤਵਿਕ ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਇਸਦੀ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨ (ਅਯਾਮ) n² − 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਠੋਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਸਰਲਤਾ ਨਾਲ ਜੁੜਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਅਲਜਬਰਿਕ ਤੌਰ ਤੇ, ਇਹ ਇੱਕ ਸਰਲ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਯਾਨਿ ਕਿ, ਇਸਦਾ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਸਰਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਥੱਲੇ ਦੇਖੋ)।

SU(n) ਦਾ ਕੇਂਦਰ ਚੱਕਰੀ ਗਰੁੱਪ Z_n, ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਯੂਨਾਇਟੀ ਦੇ n^ਵੇਂ ਰੂਟ ζ ਲਈ ਅਤੇ n×n ਪਛਾਣ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ I ਵਾਸਤੇ ਡਾਇਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ζ I ਦਾ ਬਣਿਆ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇਸਦਾ ਬਾਹਰੀ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਗਰੁੱਪ , n ≥ 3, ਵਾਸਤੇ Z₂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜਦੋਂਕਿ SU(2) ਦਾ ਬਾਹਰੀ ਆਟੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਗਰੁੱਪ ਟ੍ਰੀਵੀਅਲ (ਸੂਖਮ) ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

n-1 ਰੈਂਕ (ਰੁਤਬੇ) ਵਾਲਾ ਕੋਈ ਮੈਕਸੀਮਲ ਟੌਰੁਸ, ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ 1 ਵਾਲੇ ਡਾਇਗਨਲ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਾਪਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਵੇਇਲ ਗਰੁੱਪ, ਸਮਿੱਟਰੀ ਗਰੁੱਪ Sn ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਾਈਨ ਕੀਤੇ ਹੋਏ ਪਰਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਰਾਹੀਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਸਾਈਨ ਕੀਤਾ ਜਾਣਾ ਇਹ ਯਕੀਨੀ ਬਣਾਉਣ ਲਾਜ਼ਮੀ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ 1 ਰਹੇ)।

SU(n) ਦਾ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ, ਜਿਸਨੂੰ su(n) ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਲਾਈ ਬਰੈਕਿਟ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨਿਯਮਿਤ ਕਮਿਉਟੇਟਰ ਵਾਲੇ ਟਰੇਸਹੀਣ ਐਂਟੀ-ਹਰਮਿਸ਼ਨ n×n ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੇ ਸੈੱਟ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਪਛਾਣੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ। ਕਣ ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨੀ ਅਕਸਰ ਇੱਕ ਵੱਖਰੀ ਬਰਾਬਰਤਾ ਵਾਲੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਰਤਦੇ ਹਨ: ਕਮਿਉਟੇਟਰ ਨੂੰ -i ਨਾਲ ਗੁਣਾ ਕੀਤੀ ਲਾਈ ਬਰੈਕਿਟ ਵਾਲੇ ਟਰੇਸਲੈੱਸ (ਟਰੇਸਹੀਣ) ਹਰਮਿਸ਼ਨ n×n ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ।

ਅਤਿਸੂਖਮ ਜਨਰੇਟਰ

ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ su(n), n² ਓਪਰੇਟਰਾਂ, ${\displaystyle {\hat {O}}_{ij}}$, i, j= 1, 2, ..., n, ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਹੋ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਕਮਿਉਟੇਟਰ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ।

${\displaystyle \left[{\hat {O}}_{ij},{\hat {O}}_{k\ell }\right]=\delta _{jk}{\hat {O}}_{i\ell }-\delta _{i\ell }{\hat {O}}_{kj}}$

i, j, k, ℓ = 1, 2, ..., n ਲਈ,

ਜਿੱਥੇ δ_jk ਚਿੰਨ੍ਹ ਕ੍ਰੋਨੈੱਕਰ ਡੈਲਟਾ ਲਈ ਵਰਤਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਇਸਦੇ ਨਾਲ ਹੀ, ਓਪਰੇਟਰ

${\displaystyle {\hat {N}}=\sum _{i=1}^{n}{\hat {O}}_{ii}}$

ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਸਬੰਧ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦਾ ਹੈ;

${\displaystyle \left[{\hat {N}},{\hat {O}}_{ij}\right]=0,}$

ਜਿਸਦਾ ਅਰਥ ਹੈ ਕਿ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਦੇ ਸੁਤੰਤਰ ਜਨਰੇਟਰਾਂ ਦੀ ਸੰਖਿਆ n² − 1 ਹੁੰਦੀ ਹੈ।

ਮੁਢਲੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ

su(n) ਨੂੰ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ, ਜਾਂ ਮੁਢਲੇ ਤੌਰ ਤੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਜਨਰੇਟਰਾਂ T_a ਨੂੰ ਟਰੇਸਹੀਣ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਕੰਪਲੈਕਸ n×n ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਜਿੱਥੇ:

${\displaystyle T_{a}T_{b}={\frac {1}{2n}}\delta _{ab}I_{n}+{\frac {1}{2}}\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{(if_{abc}+d_{abc})T_{c}}\,}$

ਜਿੱਥੇ f ਬਣਤਰ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹਨ ਅਤੇ ਸਾਰੇ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਐਂਟੀਸਮਿੱਟਰਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਜਦੋਂਕਿ d-ਗੁਣਾਂਕ ਸਾਰੇ ਸੂਚਕਾਂਕਾਂ ਵਿੱਚ ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਹੁੰਦੇ ਹਨ| ਇਸਦੇ ਫਲਸਰੂਪ:

${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{+}={\frac {1}{n}}\delta _{ab}I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}T_{c}}\,}$

${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]_{-}=i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{f_{abc}T_{c}}\,.}$

ਅਸੀਂ

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}d_{bce}={\frac {n^{2}-4}{n}}\delta _{ab}\,}$

ਨੂੰ ਇੱਕ ਮਾਨਕੀਕਰਨ ਪ੍ਰੰਪਰਾ ਦੇ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵੀ ਲੈਂਦੇ ਹਾਂ|

ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ

(n² − 1) -ਅਯਾਮੀ ਅਡਜੋਆਇੰਟ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ, ਜਨਰੇਟਰਾਂ ਨੂੰ ਅਜਿਹੇ (n² − 1) × (n² − 1) ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੁਆਰਾ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕੀਤਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਜਿਹਨਾਂ ਦੇ ਐਲੀਮੈਂਟ ਬਣਤਰ ਸਥਿਰਾਂਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਹੀ ਆਪਣੇ ਆਪ ਵਿੱਚ ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle (T_{a})_{jk}=-if_{ajk}.}$

n=2

SU(2) ਹੇਠਾਂ ਲਿਖਿਆ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

${\displaystyle \mathrm {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbf {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

ਜਿੱਥੇ ਸਿਰ ਚਿੰਨ੍ਹ ਉੱਪਰਲੀ ਰੇਖਾ ਕੰਪਲੈਕਸ ਕੰਜੂਗੇਸ਼ਨ ਦਰਸਾਉਂਦੀ ਹੈ।

ਹੁਣ, ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਨਕਸ਼ੇ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi$ :\mathbf {C} ^{2}&\to \operatorname {M} (2,\mathbf {C} )\\\varphi (\alpha ,\beta )&={\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}

ਜਿੱਥੇ M(2, C) ਦੁਆਰਾ 2 ਗੁਣਾ 2 ਕੰਪਲੈਕਸ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਸੈੱਟ ਦਰਸਾਇਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। C² ਨੂੰ R⁴ ਪ੍ਰਤਿ ਅਤੇ M(2, C) ਨੂੰ R⁸ ਪ੍ਰਤਿ ਡਿੱਫਿਓਮਰਫਿਕ ਮੰਨਦੇ ਹੋਏ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ φ ਇੱਕ ਇੰਜੈਕਟਿਵ ਵਾਸਤਵਿਕ ਰੇਖਿਕ ਮੈਪ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸ ਕਾਰਨ ਐਂਬੈਡਿੰਗ (ਮਜ਼ਬੂਤੀ ਨਾਲ ਸਥਿਰ ਕੀਤਾ ਹੋਇਆ) ਹੈ। ਹੁਣ, 3-ਸਫੀਅਰ (ਕਿਉਂਕਿ ਮੌਡੁਲਸ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ), ਜਿਸਨੂੰ S3 ਲਿਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਪ੍ਰਤਿ, φ ਦੀ ਪਾਬੰਦੀ ਉੱਤੇ ਵਿਚਾਰ ਕਰੋ, ਅਸੀਂ ਦੇਖ ਸਕਦੇ ਹਾਂ ਕਿ ਇਹ 3-ਸਫੀਅਰ ਦੀ M(2, C) ਦੇ ਕਿਸੇ ਠੋਸ ਸਬ-ਮੈਨੀਫੋਲਡ ਵਿੱਚ ਮਜ਼ਬੂਤ ਸਥਿਰਤਾ ਹੈ। ਫੇਰ ਵੀ, ਇਹ ਵੀ ਸਪਸ਼ਟ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਕਿ

φ(S³) = SU(2)

ਇਸਲਈ, ਕਿਉਂਕਿ ਇੱਕ S³ ਮੈਨੀਫੋਲਡ, SU(2) ਪ੍ਰਤਿ ਡਿੱਫਿਓਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ SU(2) ਇੱਕ ਠੋਸ ਜੁੜਿਆ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

SU(2) ਦਾ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਇਹ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}ia&-{\overline {z}}\\z&-ia\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbf {R} ,z\in \mathbf {C} \right\}~.}$

ਇਹ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਸਾਬਤ ਹੋ ਜਾਂਦਾ ਹੈ ਕਿ ਇਸ ਰੂਪ ਵਾਲੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ ਟਰੇਸ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਐਂਟੀਹਰਮਿਸ਼ਨ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਫੇਰ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੁਆਰਾ ਬਣਦਾ ਹੈ,

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}\qquad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}\qquad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

ਜੋ ਉੱਪਰ ਦਰਸਾਏ ਆਮ ਤੱਤ ਦਾ ਰੂਪ ਰੱਖਦੇ ਅਸਾਨੀ ਨਾਲ ਦੇਖੇ ਜਾ ਸਕਦੇ ਹਨ।

ਇਹ

u₃u₂ = −u₂u₃ = −u₁

ਅਤੇ u₂u₁ = −u₁u₂ = −u₃

ਉੱਤੇ ਖਰੇ ਉਤਰਦੇ ਹਨ।

ਕਮਿਉਟੇਟਰ ਬਰੈਕਿਟ ਇਸਲਈ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਵਾਂਗ ਵਿਸ਼ੇਸ਼ ਤੌਰ ਤੇ ਲਿਖੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ;

${\displaystyle [u_{3},u_{1}]=2u_{2},\qquad [u_{1},u_{2}]=2u_{3},\qquad [u_{2},u_{3}]=2u_{1}~.}$

ਉੱਪਰ ਲਿਖੇ ਜਨਰੇਟਰ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਨਾਲ

u₁ = i σ₁,u₂ = −i σ₂

ਅਤੇ u₃ = i σ₃

ਰਾਹੀਂ ਸਬੰਧਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ। ਇਹ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਇਲੈਕਟ੍ਰੌਨਾਂ ਵਰਗੇ ਮੁਢਲੇ ਕਣਾਂ ਦਾ ਸਪਿੱਨ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਲਈ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਅੰਦਰ ਨਿਯਮਿਤ ਰੂਪ ਵਿੱਚ ਵਰਤੀ ਜਾਂਦੀ ਹੈ। ਇਹ ਲੂਪ ਕੁਆਂਟਮ ਗਰੈਵਿਟੀ ਅੰਦਰ ਸਾਡੀਆਂ 3 ਸਥਾਨਿਕ ਡਾਇਮੈਨਸ਼ਨਾਂ ਦੇ ਵਿਵਰਣ ਵਾਸਤੇ ਯੂਨਿਟ ਵੈਕਟਰਾਂ ਦੀ ਭੂਮਿਕਾ ਵੀ ਅਦਾ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ SU(2) ਦੀਆਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀਆਂ ਉੱਤੇ ਕੰਮ ਕਰਨ ਲਈ ਕੰਮ ਆਉਂਦਾ ਹੈ।

n=3

SU(3) ਦੇ ਜਨਰੇਟਰ, T, ਪਰਿਭਾਸ਼ਿਤ ਕਰਦੀ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਵਿੱਚ ਇਹ ਹਨ:

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}.\,}$

ਜਿੱਥੇ λ ਗੈੱਲ-ਮਾਨ ਮੈਟ੍ਰਿਸੀਜ਼ SU(2) ਲਈ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦਾ SU(3) ਐਨਾਲੌਗ ਹੈ:

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.}$

ਇਹ ${\displaystyle \lambda _{a}}$ ਜਰੂਰਤ ਮੁਤਾਬਿਕ, ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਸਾਰੇ ਟਰੇਸਹੀਣ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ H ਸਪੈਨ ਕਰਦਾ ਹੈ। ਇਹ ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਸਬੰਧਾਂ ਦੀ ਪਾਲਣਾ ਕਰਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle \left[T_{a},T_{b}\right]=i\sum _{c=1}^{8}{f_{abc}T_{c}}\,}$

${\displaystyle \{T_{a},T_{b}\}={\frac {1}{3}}\delta _{ab}+\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}T_{c}}\,}$,

(ਜਾਂ, ਇਸਦੇ ਬਰਾਬਰ ਹੀ, ${\displaystyle \{\lambda _{a},\lambda _{b}\}={\frac {4}{3}}\delta _{ab}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}}$).

f, ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਦੇ ਬਣਤਰ ਸਥਿਰਾਂਕ ਹਨ, ਜੋ ਹੇਠਾਂ ਦਿੱਤੇ ਅਨੁਸਾਰ ਪ੍ਰਾਪਤ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle f_{123}=1\,}$

${\displaystyle f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}={\frac {1}{2}}\,}$

${\displaystyle f_{458}=f_{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}},\,}$

ਪਰਮਿਉਟੇਸ਼ਨ ਦੁਆਰਾ ਇਹਨਾਂ ਨਾਲ ਨਾ ਸਬੰਧਤ ਜਦੋਂ ਸਾਰੇ ਹੋਰ ${\displaystyle f_{abc}}$ ਜ਼ੀਰੋ ਹੁੰਦੇ ਹਨ।

ਸਮਿੱਟਰਿਕ ਗੁਣਾਂਕ d ਇਹ ਮੁੱਲ ਲੈ ਲੈਂਦੇ ਹਨ:

${\displaystyle d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}$

${\displaystyle d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\,}$

${\displaystyle d_{146}=d_{157}=-d_{247}=d_{256}=d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}={\frac {1}{2}}.\,}$

ਇੱਕ ਟੌਪੌਲੌਜੀਕਲ ਸਪੇਸ ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ, SU(3) ਕਿਸੇ 3-ਸਫੀਅਰ ਅਤੇ ਇੱਕ 5-ਸਫੀਅਰ S³⊗ S⁵ ਦਾ ਸਿੱਧਾ ਗੁਣਨਫਲ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਇੱਕ ਅਸਲੀ SU(3) ਗਰੁੱਪ ਐਲੀਮੈਂਟ ਜੋ ਕਿਸੇ ਟਰੇਸਹੀਣ 3×3 ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ H ਦੁਆਰਾ ਪੈਦਾ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, tr(H²) = 2 ਦੇ ਤੌਰ ਤੇ ਨੌਰਮਲਾਇਜ਼ਡ ਕੀਤੇ ਜਾਂਦੇ ਹਨ, ਇਸ ਦੁਆਰਾ ਮਿਲਦੇ ਹਨ,

${\displaystyle \exp \left(i\theta H\right)=}$

${\displaystyle \left[-{\tfrac {1}{3}}~I\sin \left(\phi +2\pi /3\right)\sin \left(\phi -2\pi /3\right)-{\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\phi \right)-{\tfrac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \phi \right)}{\cos \left(\phi +2\pi /3\right)\cos \left(\phi -2\pi /3\right)}}}$

${\displaystyle +\left[-{\tfrac {1}{3}}~I\sin \left(\phi \right)\sin \left(\phi -2\pi /3\right)-{\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\phi +2\pi /3\right)-{\tfrac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\phi +2\pi /3\right)\right)}{\cos \left(\phi \right)\cos \left(\phi -2\pi /3\right)}}}$

${\displaystyle +\left[-{\tfrac {1}{3}}~I\sin \left(\phi \right)\sin \left(\phi +2\pi /3\right)-{\tfrac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\phi -2\pi /3\right)-{\tfrac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\phi -2\pi /3\right)\right)}{\cos \left(\phi \right)\cos \left(\phi +2\pi /3\right)}}}$

ਜਿੱਥੇ

${\displaystyle \phi \equiv {\tfrac {1}{3}}\left(\arccos \left({\tfrac {3}{2}}{\sqrt {3}}\det H\right)-{\tfrac {\pi }{2}}\right)}$

ਮੁਢਲੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਥਿਊਰੀ ਤੱਥਾਂ ਲਈ, ਇਹ ਵੀ ਦੇਖੋ: SU(3) ਵਾਸਤੇ ਕਲੈਬਿਸ਼-ਜੌਰਡਨ ਗੁਣਾਂਕ

ਲਾਈ ਅਲਜਬਰਾ ਬਣਤਰ

ਉੱਪਰਲ ਲਿਖੇ ਪ੍ਰਸਤੁਤੀ ਅਧਾਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤੇ ਪੌਲੀ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਨਾਲ n > 3 ਤੱਕ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਹੋ ਜਾਂਦੇ ਹਨ।

ਜੇਕਰ ਅਸੀਂ ਕੋਈ (ਮਨਚਾਹਿਆ) ਖਾਸ ਬੇਸਿਸ ਚੁਣੀਏ, ਤਾਂ ਕਾਲਪਨਿਕ ਐਂਟਰੀਆਂ ਵਾਲੇ ਟਰੇਸਹੀਣ ਡਾਇਗਨਲ n×n ਮੈਟ੍ਰਿਕਸਾਂ ਦੀ ਸਬ-ਸਪੇਸ ਇੱਕ (n − 1)-ਅਯਾਮੀ ਕਾਰਟਨ ਸਬ-ਅਲਜਬਰਾ ਰਚਦੀ ਹੈ।

ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਨੂੰ ਸ਼ਾਖਾਵਾਂ ਵਿੱਚ ਵੰਡੋ, ਤਾਂ ਜੋ ਹੁਣ ਕੋਈ ਵੀ ਟਰੇਸਹੀਣ n×n ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਪ੍ਰਵਾਨਿਤ ਹੋ ਸਕੇ। ਵੇਟ ਆਈਗਨਵੈਕਟਰ ਖੁਦ ਕਾਰਟਨ ਸਬ-ਅਲਜਬਰਾ ਹੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ, ਅਤੇ ਅਜਿਹੇ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ ਜਿਹਨਾਂ ਦੀ ਸਿਰਫ ਇੱਕੋ ਗੈਰ-ਜ਼ੀਰੋ “ਔਫ ਡਾਇਗਨਲ” (ਸੱਜੇ ਤੋਂ ਖੱਬੇ ਪਾਸੇ ਦੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਿੱਚ ਉੱਪਰੋਂ ਥੱਲੇ ਵੱਲ ਨੂੰ ਤਿਰਛੀ ਦਿਸ਼ਾ ਵਾਲੀ) ਐਂਟਰੀ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਭਾਵੇਂ ਕਾਰਟਨ ਸਬ-ਅਲਜਬਰਾ h ਸਿਰਫ (n − 1)-ਅਯਾਮੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਤਾਂ ਵੀ ਕੈਲਕੁਲੇਸ਼ਨਾਂ ਨੂੰ ਸਰਲ ਕਰਨ ਵਾਸਤੇ, ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਤੱਤ ਦਾਖਲ ਕਰਨਾ ਅਸਾਨ ਰਹਿੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਹੋਰ ਸਭ ਕਾਸੇ ਨਾਲ ਵਟਾਂਦਰਾਤਮਿਕਤਾ ਰੱਖਣ ਵਾਲਾ ਯੂਨਿਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ (ਜੋ ਲਾਈ ਅਲਜਬਰੇ ਦਾ ਇੱਕ ਐਲੀਮੈਂਟ ਨਹੀਂ ਹੁੰਦਾ) ਜਿਸਦਾ ਮੰਤਵ ਵਜ਼ਨਾਂ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਉਣਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ- ਅਤੇ ਸਿਰਫ ਇਹੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਇਸਲਈ, ਸਾਡੇ ਕੋਲ ਇੱਕ ਬੇਸਿਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿੱਥੇ i-ਵਾਂ ਬੇਸਿਸ ਵੈਕਟਰ ਉਹ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜਿਸਦੀ i-ਵੀਂ ਡਾਇਗਨਲ ਐਂਟਰੀ ਉੱਤੇ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਬਾਕੀ ਸਭ ਜਗਹ 0 ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਫੇਰ n ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੁਆਰਾ ਵਜ਼ਨ ਦਿੱਤੇ ਜਾ ਸਕਣਗੇ ਅਤੇ ਸਾਰੇ n ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਉੱਤੇ ਜੋੜ ਨੂੰ 0 ਹੋਣਾ ਹੀ ਪੈਂਦਾ ਹੈ (ਕਿਉਂਕਿ ਯੂਨਿਟ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਸਿਰਫ ਬਾਹਰੀ ਹੁੰਦਾ ਹੈ)।

ਇਸਲਈ, SU(n) ਰੈਂਕ n-1 ਵਾਲਾ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ ਇਸਦਾ ਡਿੰਕਿਨ ਡਾਇਗ੍ਰਾਮ A_n−1 ਦੁਆਰਾ ਮਿਲਦਾ ਹੈ, ਜੋ n-1 ਸ਼ਿਖਰਾਂ ਵਾਲੀ ਇੱਕ ਚੇਨ/ਲੜੀ o−o−o−o---o ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਇਸਦਾ ਰੂਟ ਸਿਸਟਮ ਇੱਕ n-1 ਯੁਕਿਲਡਨ ਸਪੇਸ ਸਪੈਨ ਕਰਨ ਵਾਲੀਆਂ n(n − 1) ਜੜਾਂ (ਰੂਟਾਂ) ਤੋਂ ਬਣਦਾ ਹੈ। ਇੱਥੇ, ਅਸੀਂ ਰੂਟ ਸਿਸਟਮ ਦੀਆਂ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਉੱਤੇ ਜ਼ੋਰ ਦੇਣ ਲਈ n-1 ਦੀ ਜਗਹ n ਗੈਰ-ਜ਼ਰੂਰੀ ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੀ ਵਰਤੋ ਕਰਦੇ ਹਾਂ (n ਨਿਰਦੇਸ਼ਾਂਕਾਂ ਦੇ ਜੋੜ ਨੂੰ 0 ਹੋਣਾ ਹੀ ਪੈਂਦਾ ਹੈ)।

ਦੂਜੇ ਸ਼ਬਦਾਂ ਵਿੱਚ, ਅਸੀਂ ਇਸ n-1 ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਕਿਸੇ n-ਅਯਾਮੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਵਿੱਚ ਜੜ ਰਹੇ ਹੁੰਦੇ ਹਾਂ। ਇਸ ਤਰ੍ਹਾਂ, ਜੜਾਂ, (1, −1, 0, ..., 0) ਦੀਆਂ ਸਾਰੀਆਂ n(n − 1) ਪਰਮਿਉਟੇਸ਼ਨਾਂ ਤੋਂ ਬਣਦੀਆਂ ਹਨ। ਉੱਪਰ ਦਿੱਤੀ ਬਣਤਰ ਸਮਝਾਉਂਦੀ ਹੈ ਕਿ ਅਜਿਹਾ ਕਿਉਂ ਹੁੰਦਾ ਹੈ। ਸਰਲ ਜੜਾਂ ਦੀ ਇੱਕ ਚੋਣ ਇਹ ਹੈ,

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0),\\&\ldots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

ਇਸਦਾ ਕਾਰਟਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ ਇਹ ਹੈ,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

ਇਸਦਾ ਵੇਇਲ ਗਰੁੱਪ ਜਾਂ ਕੋਐਕਸਟਰ ਗਰੁੱਪ, ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ Sn ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ (n − 1)-ਸਿੰਪਲੈਕਸ ਦਾ ਸਮਰੂਪਤਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਗਿਆ ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ

ਕਿਸੇ ਫੀਲਡ F ਵਾਸਤੇ, F ਉੱਪਰ ਸਰਵ ਸਧਾਰਨ ਕੀਤਾ ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ SU(p, q; F), F ਉੱਤੇ n = p + q ਰੈਂਕ ਦੀ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਦੇ ਡਿਟ੍ਰਮੀਨੈਂਟ 1 ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਰੇਖਿਕ ਪਰਿਵਰਤਨਾਂ ਦਾ ਅਜਿਹਾ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਜੋ ਸਿਗਨੇਚਰ (p, q) ਦੀ ਇੱਕ ਗੈਰ-ਡਿਜਨਰੇਟ, ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਕਿਸਮ ਨੂੰ ਇਨਵੇਰੀਅੰਟ (ਸਥਿਰ) ਰਹਿਣ ਦਿੰਦਾ ਹੈ। ਇਸ ਗਰੁੱਪ ਨੂੰ ਅਕਸਰ F ਉੱਤੇ ਸਿਗਨੇਚਰ p q ਦਾ ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ। ਫੀਲਡ F ਨੂੰ ਇੱਕ ਕਮਿਉਟੇਟਿਵ ਰਿੰਗ ਰਾਹੀਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਹਾਲਤ ਵਿੱਚ ਵੈਕਟਰ ਸਪੇਸ ਨੂੰ ਇੱਕ ਸੁਤੰਤਰ ਮੌਡਿਊਲ ਰਾਹੀਂ ਬਦਲਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ।

ਖਾਸ ਤੌਰ ਤੇ, ਸਿਗਨਚੇਰ p q ਦੇ ਇੱਕ ਹਰਮਿਸ਼ਨ ਮੈਟ੍ਰਿਕਸ A ਨੂੰ GL(n, R) ਵਿੱਚ ਫਿਕਸ ਕਰੋ, ਤਾਂ ਸਾਰੇ

${\displaystyle M\in \mathrm {SU} (p,q,R)}$

ਹੇਠਾਂ ਲਿਖੇ ਸਬੰਧਾਂ ਨੂੰ ਸੰਤੁਸ਼ਟ ਕਰਦੇ ਹਨ,

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$

ਅਕਸਰ ਧਾਰਨਾ SU(p, q) ਨੂੰ ਕਿਸੇ ਰਿੰਗ ਜਾਂ ਫੀਲਡ ਪ੍ਰਤਿ ਹਵਾਲੇ ਬਗੈਰ ਦੇਖਿਆ ਜਾਂਦਾ ਹੈ; ਇਸ ਮਾਮਲੇ ਵਿੱਚ, ਹਵਾਲਾ ਦਿੱਤੀ ਜਾਣ ਵਾਲੀ ਫੀਲਡ ਜਾਂ ਰਿੰਗ C ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਅਤੇ ਇਹ ਕਲਾਸੀਕਲ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪਾਂ ਵਿੱਚੋਂ ਇੱਕ ਗਰੁੱਪ ਦਿੰਦੀ ਹੈ। ਜਦੋਂ F=C ਹੋਵੇ ਤਾਂ A ਵਾਸਤੇ ਮਿਆਰੀ ਚੋਣ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ,

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$

ਫੇਰ ਵੀ ਕੁੱਝ ਅਯਾਮਾਂ ਵਾਸਤੇ A ਲਈ ਬੇਹਤਰ ਵਿਕਲਪ ਹੋ ਸਕਦੇ ਹਨ ਜੋ C ਦੇ ਸਬਰਿੰਗਾਂ ਪ੍ਰਤਿ ਪਾਬੰਧੀ ਅਧੀਨ ਹੋਰ ਜਿਆਦਾ ਵਰਤਾਓ ਦਾ ਪ੍ਰਦਸ਼ਨ ਕਰਦੇ ਹਨ।

ਉਦਾਹਰਨ

ਇਸ ਕਿਸਮ ਦੇ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਉਦਾਹਰਨ ਪਿਕਾਰਡ ਮੌਡਿਉਲਰ ਗਰੁੱਪ SU(2, 1; Z[i]) ਹੈ ਜੋ ਉਸੇ ਬਿਲਕੁਲ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ ਡਿਗਰੀ ਦੋ ਦੀ ਕੰਪਲੈਕਸ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦਾ ਹੈ, ਜਿਸ ਤਰੀਕੇ ਨਾਲ SL(2,9;Z), ਅਯਾਮ ਦੋ ਵਾਲੀ ਵਾਸਤਵਿਕ ਹਾਈਪਰਬੋਲਿਕ ਸਪੇਸ ਉੱਤੇ ਕ੍ਰਿਆ ਕਰਦੇ ਹਨ। 2005 ਵਿੱਚ ਗਾਬਰ ਫ੍ਰਾਂਸਿਕਸ ਅਤੇ ਪੀਟਰ ਲੈਕਸ ਨੇ HC2 ਉੱਤੇ ਇਸ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਐਕਸ਼ਨ ਲਈ ਇੱਕ ਬਾਹਰੀ ਮੁਢਲੀ ਡੋਮੇਨ ਦਾ ਹਿਸਾਬ ਲਗਾਇਆ।

ਇੱਕ ਹੋਰ ਉਦਾਹਰਨ SU(1, 1; C) ਹੈ, ਜੋ SL(2,R) ਪ੍ਰਤਿ ਆਇਸੋਮਰਫਿਕ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ

ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ, ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਦੀ ਵਰਤੋਂ ਬੋਸੌਨਿਕ ਸਮਰੂਪਤਾਵਾਂ ਪ੍ਰਸਤੁਤ ਕਰਨ ਵਿੱਚ ਹੁੰਦੀ ਹੈ। ਸਮਿੱਟਰੀ ਬਰੇਕਿੰਗ ਦੀਆਂ ਥਿਊਰੀਆਂ ਅੰਦਰ, ਸਪੈਸ਼ਲ ਯੂਨਾਇਟ੍ਰੀ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਖੋਜਣ ਦੇ ਯੋਗ ਹੋਣਾ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹੈ। SU(n) ਦੇ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਜੋ GUT ਭੌਤਿਕ ਵਿਗਿਆਨ ਵਿੱਚ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਹਨ, p > 1, n − p > 1 ਲਈ,

${\displaystyle \mathrm {SU} (n)\supset \mathrm {SU} (p)\times \mathrm {SU} (n-p)\times \mathrm {U} (1)}$,

ਜਿੱਥੇ × ਸਿੱਧਾ ਗੁਣਨਫਲ ਦਰਸਾਉਂਦਾ ਹੈ ਅਤੇ U(1), ਜਿਸਨੂੰ ਸਰਕਲ ਗਰੁੱਪ ਕਿਹਾ ਜਾਂਦਾ ਹੈ, ਸ਼ੁੱਧ ਮੁੱਲ 1 ਵਾਲੇ ਸਾਰੇ ਕੰਪਲੈਕਸ ਨੰਬਰਾਂ ਦਾ ਗੁਣਾਤਮਿਕ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ।

ਸੰਪੂਰਣਤਾ ਲਈ, ਔਰਥੋਗਨਲ ਅਤੇ ਸਿੰਪਲੈਕਟਿਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {SU} (n)&\supset \mathrm {SO} (n),\\\mathrm {SU} (2n)&\supset \mathrm {Sp} (n).\end{aligned}}}$

ਕਿਉਂਕਿ SU(n) ਦਾ ਰੈਂਕ n-1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ ਅਤੇ U(1) ਦਾ 1 ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਇਸਲਈ ਇੱਕ ਲਾਭਕਾਰੀ ਪਰਖ ਇਹ ਹੁੰਦੀ ਹੈ ਕਿ ਸਬ-ਗਰੁੱਪਾਂ ਦੇ ਰੈਂਕਾਂ ਦਾ ਜੋੜ ਮੂਲ ਗਰੁੱਪ ਦੇ ਰੈਂਕ ਬਰਾਬਰ ਜਾਂ ਉਸ ਤੋਂ ਘੱਟ ਹੋਵੇ। SU(n) ਹੋਰ ਬਹੁਤ ਸਾਰੇ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪਾਂ ਦਾ ਇੱਕ ਸਬ-ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {SO} (2n)&\supset \mathrm {SU} (n)\\\mathrm {Sp} (n)&\supset \mathrm {SU} (n)\\\mathrm {Spin} (4)&=\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)\\\mathrm {E} _{6}&\supset \mathrm {SU} (6)\\\mathrm {E} _{7}&\supset \mathrm {SU} (8)\\\mathrm {G} _{2}&\supset \mathrm {SU} (3)\end{aligned}}}$

E₆, E₇, ਅਤੇ G₂ ਵਾਸਤੇ ਸਪਿੱਨ ਗਰੁੱਪ ਅਤੇ ਸਰਲ ਲਾਈ ਗਰੁੱਪ ਦੇਖੋ।

ਇੱਤਫਾਕਨ ਆਇਸੋਮੌਰਫਿਜ਼ਮ ਵੀ ਹੁੰਦੇ ਹਨ:: SU(4) = Spin(6), SU(2) = Spin(3) = Sp(1), ਅਤੇ U(1) = Spin(2) = SO(2) .

ਅੰਤ ਵਿੱਚ ਇਹ ਕਿਹਾ ਜਾ ਸਕਦਾ ਹੈ ਕਿ SU(2) ਗਰੁੱਪ SO(3) ਦਾ ਡਬਲ ਕਵਰਿੰਗ ਗਰੁੱਪ ਹੁੰਦਾ ਹੈ, ਜੋ ਅਜਿਹਾ ਸਬੰਧ ਹੈ ਜੋ ਗੈਰ-ਸਾਪੇਖਿਕ ਕੁਆਂਟਮ ਮਕੈਨਿਕਸ ਵਿੱਚ 2-ਸਪਿੱਨੌਰਾਂ ਦੀਆਂ ਰੋਟੇਸ਼ਨਾਂ ਦੀ ਥਿਊਰੀ ਅੰਦਰ ਇੱਕ ਮਹੱਤਵਪੂਰਨ ਭੂਮਿਕਾ ਨਿਭਾਉਂਦਾ ਹੈ।