Ciało uporządkowane

Ciało uporządkowane – ciało ${\displaystyle K,}$ w którym wyróżniony jest podzbiór ${\displaystyle D}$ elementów dodatnich o następujących własnościach:

1. zbiór ${\displaystyle K}$ jest sumą trzech zbiorów rozłącznych: ${\displaystyle K=-D\cup \{0\}\cup D,}$
2. zbiór ${\displaystyle D}$ jest zamknięty ze względu na dodawanie: ${\displaystyle D+D\subset D,}$
3. zbiór ${\displaystyle D}$ jest zamknięty ze względu na mnożenie: ${\displaystyle D\cdot D\subset D,}$

gdzie ${\displaystyle -D=\{-x:x\in D\},}$ ${\displaystyle D+D=\{x+y:x,y\in D\}}$ oraz ${\displaystyle D\cdot D=\{x\cdot y:x,y\in D\}}$^[1][2].

Można to wypowiedzieć tak: ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim (większym od zera, oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:

1. Dla każdego ${\displaystyle a\in K}$ ma miejsce jedna z trzech zależności: ${\displaystyle a=0,\,a>0,\,-a>0}$
2. Jeśli ${\displaystyle a>0}$ i ${\displaystyle b>0,}$ to ${\displaystyle a+b>0}$
3. Jeśli ${\displaystyle a>0}$ i ${\displaystyle b>0,}$ to ${\displaystyle a\cdot b}$ >0^[3].

• zapis ${\displaystyle a>0}$ oznacza, że ${\displaystyle a\in D}$^[4], a zapis ${\displaystyle -a>0}$ oznacza, że ${\displaystyle a\in -D}$^[5].
• zapis ${\displaystyle a>b}$ oznacza, że ${\displaystyle a-b>0}$^[6].

Własności

• Dla każdych dwóch elementów ${\displaystyle a,b\in K}$ albo ${\displaystyle a=b,}$ albo ${\displaystyle a>b,}$ albo ${\displaystyle b>a.}$ Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało ${\displaystyle K.}$
• Jeśli ${\displaystyle a>0}$ i ${\displaystyle b<0,}$ to ${\displaystyle ab<0.}$

Dowód: ${\displaystyle a>0}$ i ${\displaystyle -b>0,}$ to ${\displaystyle -ab>0,}$ czyli ${\displaystyle -(ab)>0}$ a stąd ${\displaystyle ab<0.}$

• Jeśli ${\displaystyle c>0}$ i ${\displaystyle a>b,}$ to ${\displaystyle ac>bc.}$

Dowód: ${\displaystyle ac-bc=(a-b)c>0.}$ Dlatego ${\displaystyle ac>bc.}$

• Jeśli ${\displaystyle ac>bc}$ i ${\displaystyle c>0,}$ to ${\displaystyle a>b.}$

Dowód: ${\displaystyle a\neq b,}$ bo jeśli ${\displaystyle a=b,}$ to ${\displaystyle ac=bc,}$ co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli ${\displaystyle b>a,}$ to ${\displaystyle bc>ac,}$ co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego ${\displaystyle a>b.}$

• Jeśli ${\displaystyle c<0}$ i ${\displaystyle a>b,}$ to ${\displaystyle ac<bc.}$
• Dla każdego niezerowego elementu ${\displaystyle a}$ ciała ${\displaystyle K}$ zachodzi nierówność ${\displaystyle a^{2}=a\cdot a>0.}$ W szczególności ${\displaystyle 1^{2}=1>0.}$
• ${\displaystyle n=\underbrace {1+\ldots +1} _{n{\text{ razy}}}>0,}$ czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0.
• Jeśli ${\displaystyle a>0,}$ to ${\displaystyle a^{-1}>0.}$

Dowód: ${\displaystyle a\cdot a^{-1}=1>0}$ i dlatego ${\displaystyle a^{-1}>0.}$

• Jeśli ${\displaystyle bc>0,}$ to ${\displaystyle {\frac {b}{c}}>0.}$

Dowód: ${\displaystyle {\frac {b}{c}}={\frac {bc}{c^{2}}}=bc{\frac {1}{c^{2}}}>0}$

Przykłady

• Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowane^[7].
• Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych.
• Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi:
  • ciało liczb zespolonych, Dowód: gdyby było ciałem uporządkowanym, to dla niezerowego ${\displaystyle a}$ znaki liczb ${\displaystyle a}$ oraz ${\displaystyle a^{-1}}$ byłyby identyczne. Tymczasem ${\displaystyle i^{-1}=-i.}$
  • dowolne ciało skończone.

Ciała archimedesowe

W każdym ciele ${\displaystyle K}$ charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} =\{n:n=\underbrace {1+\ldots +1} _{n{\text{ razy}}}\}.}$ Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu ${\displaystyle a\in K}$ istnieje taka liczba całkowita ${\displaystyle n,}$ że ${\displaystyle a<n}$^[8].

• Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne^[9].
• Ciało liczb rzeczywistych ${\displaystyle \mathbb {R} }$ może być uporządkowane tylko w jeden sposób^[9].