Wartości funkcji Möbiusa dla małych (ciąg A008683 w OEIS):
Oto sekwencje liczb odpowiadające konkretnym wartościom funkcji Möbiusa:
(A030059 w OEIS) | 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 30, 31,... |
(A013929 w OEIS) | 4, 8, 9, 12, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 28, 32,... |
(A030229 w OEIS) | 1, 6, 10, 14, 15, 21, 22, 26, 33, 34, 35,... |
Funkcja Möbiusa jest funkcją multiplikatywną, co oznacza, że
jeśli i są liczbami względnie pierwszymi. Nie jest jednak funkcją całkowicie multiplikatywną.
Dla dowolnej liczby całkowitej zachodzi
gdzie oznacza sumę po wszystkich dodatnich dzielnikach liczby Fakt ten wykorzystywany jest chociażby w konstrukcji sita Selberga.
Funkcja zeta Riemanna
Funkcja Möbiusa spełnia równości opisujące funkcję zeta Riemanna na półpłaszczyźnie zespolonej. Dla każdej liczby zespolonej o części rzeczywistej zachodzi równość
Można ją wywnioskować z iloczynu Eulera funkcji zeta,
zbieżnego na tej półpłaszczyźnie.
Ponadto
Szeregi
Funkcja występuje w następujących szeregach zbieżnych:
- co jest równoważne z twierdzeniem o liczbach pierwszych[2],
- gdzie to logarytm naturalny,
- gdzie jest stałą Eulera-Masheroniego.
Szeregiem Lamberta funkcji Möbiusa jest szereg
który jest zbieżny dla Dodatkowo, dla dowolnej liczby pierwszej zachodzi
również dla
Związek z funkcjami trygonometrycznymi
Spójrzmy na ciąg ułamków
Wybierzmy z niego tylko ułamki, których NWD licznika i mianownika jest równe 1:
Utwórzmy sumę:
Jej wartość jest równa −1. Wynika to z faktu, że 42 ma nieparzystą liczbę dzielników pierwszych i jest liczbą bezkwadratową: 42 = 2 × 3 × 7. (Jeżeli liczba bezkwadratowa miałaby parzystą liczbę dzielników pierwszych wówczas suma równałaby się 1; jeżeli liczba byłaby podzielna przez kwadrat liczby całkowitej wówczas suma wynosiłaby 0; suma jest równa wartości funkcji Möbiusa dla 42.) Ogólnie
Osobny artykuł: Funkcja Mertensa.
W teorii liczb inną funkcją zdefiniowaną przy pomocy funkcji Möbiusa, mającą duże znaczenie jest funkcja Mertensa
Zależność jest równoważna z twierdzeniem o liczbach pierwszych[2], a – z hipotezą Riemanna[3].
August FerdinandA.F. Möbius August FerdinandA.F., Über eine besondere Art von Umkehrung der Reihen, „Journal für die reine und angewandte Mathematik”, 9, 1832, s. 105–123 (niem.).
Edward C.E.C. Titchmarsh Edward C.E.C., D.R.D.R. Heath-Brown D.R.D.R., The theory of the Riemann zeta-function, wyd. 2. ed., repr, Oxford science publications, Oxford: Clarendon Pr, 2007, ISBN 978-0-19-853369-6 [dostęp 2023-12-11]. Brak numerów stron w książce