Klasa (matematyka)

Klasa – wielość obiektów, która może być określona przez własność posiadaną przez wszystkie jej elementy. Pojęcie klasy jest uogólnieniem pojęcia zbioru.

Wiele obiektów w matematyce jest „za dużych” aby badać je przy użyciu zbiorów i muszą być opisywane przy użyciu klas. W literaturze istnieje kilka sposobów formalizacji pojęcia klasy.

Przykłady

Przykłady klas:

• klasa wszystkich zbiorów – rozważanie zbiorów wszystkich zbiorów prowadzi do antynomii (paradoks zbioru wszystkich zbiorów), dlatego wszystkie zbiory tworzą klasę właściwą
• klasa wszystkich liczb porządkowych – rozważanie zbioru wszystkich liczb porządkowych prowadzi do antynomii (paradoks Buralego-Fortiego), dlatego liczby porządkowe tworzą klasę właściwą
• klasa wszystkich liczb nadrzeczywistych – jest to nadklasa klasy wszystkich liczb porządkowych
• klasy obiektów dużych kategorii, np. Top – kategorii wszystkich przestrzeni topologicznych
• uniwersum konstruowalne

Klasy jako formuły

Klasy można traktować jako nieformalne obiekty wyznaczone przez formuły języka teorii mnogości. Podejście takie jest przyjmowane, na przykład, w monografii Thomasa Jecha^[1]. W książce tej, dla formuły ${\displaystyle \varphi (x,y_{1},y_{2},\dots ,y_{n})}$ o zmiennych wolnych zawartych wśród ${\displaystyle x,y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}}$ oraz parametrów ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n},}$ wprowadza się klasę definiowaną przez ${\displaystyle \varphi }$ z parametrów ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ jako ${\displaystyle \mathbf {C} =\{x:\varphi (x,p_{1},\dots ,p_{n})\}.}$ Tak więc dla klasy ${\displaystyle \mathbf {C} }$ zdefiniowanej przez ${\displaystyle \varphi }$ z parametrów ${\displaystyle p_{1},\dots ,p_{n}}$ mamy

${\displaystyle x\in \mathbf {C} }$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\dots ,p_{n}).}$

Klasy ${\displaystyle \mathbf {C} ,\mathbf {D} }$ zdefiniowane przez ${\displaystyle \varphi (x,p_{1},\dots ,p_{n}),}$ ${\displaystyle \psi (x,q_{1},\dots ,q_{m})}$ (odpowiednio) są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają te same elementy, czyli gdy

${\displaystyle (\forall x)(\varphi (x,p_{1},\dots ,p_{n})\ \Leftrightarrow \ \psi (x,q_{1},\dots ,q_{m}))}$

Przy tym podejściu, wprawdzie wykonujemy różne operacje na klasach czy też rozważamy różne relacje między nimi, klasy są tożsame z formułami je definiującymi. Każde użycie klasy może być zastąpione przez odwołanie do formuły ją definiującej.

Teoria klas Morse’a-Kelleya

John L. Kelley^[2] zaproponował podejście sformalizowane trochę inaczej przez Anthony Morse’a^[3] i rozważane też przez Johna von Neumanna, a znane dzisiaj jako teoria klas Morse’a-Kelleya (lub system Morse’a-Kelleya). Jest to teoria w języku ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\in );}$ obiekty nazywane są klasami, a klasy które są elementami innych klas nazywane są też zbiorami (tak więc „${\displaystyle x}$ jest zbiorem” jest formułą ${\displaystyle (\exists y)(x\in y)}$). Klasy które nie są zbiorami nazywane są klasami właściwymi.

W literaturze przedmiotu spotyka się kilka zestawów aksjomatów nazywanych aksjomatami teorii klas Morse’a-Kelleya. Różnice między rozważanymi aksjomatykami mogą być bardzo istotne, a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

• Aksjomat ekstensjonalności (klasy mające te same elementy są równe).
• Dla każdej formuły ${\displaystyle \varphi }$ języka ${\displaystyle {\mathcal {L}}(\in )}$ wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona ze zbiorów, które spełniają tę formułę:

${\displaystyle {\Big (}\exists y{\Big )}{\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}x\in y\ \Leftrightarrow \ ((\exists z)(x\in z)\ \wedge \ \varphi (x)){\Big )}.}$

• Aksjomat pary (dla każdych zbiorów ${\displaystyle x,y}$ istnieje zbiór ${\displaystyle \{x,y\},}$ którego jedynymi elementami są ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$).
• Klasa C jest klasą właściwą wtedy – i tylko wtedy – gdy istnieje bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.
• Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru A, klasa wszystkich podzbiorów zbioru ${\displaystyle A}$ jest zbiorem.
• Aksjomat sumy: suma zbioru zbiorów jest zbiorem.
• Aksjomat nieskończoności:

${\displaystyle {\Big (}\exists w\in \mathbf {V} {\Big )}{\Big (}\varnothing \in w\ \wedge \ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w){\Big )}}$

• Aksjomat regularności:

${\displaystyle {\Big (}\forall x{\Big )}{\Big (}x\neq \varnothing \ \Rightarrow \ (\exists y\in x)(y\cap x=\varnothing ){\Big )}.}$

Teoria ta istotnie rozszerza teorię ZFC.

Wojciech Guzicki i Paweł Zbierski opierają swój wykład teorii mnogości^[4] na zbliżonej aksjomatyce.

Teoria klas NBG

Aksjomatyzacja teorii mnogości zaproponowana przez von Neumanna, rozwinięta przez Paula Bernaysa, a następnie uproszczona przez Kurta Gödla znana jest dzisiaj jako aksjomatyka NBG. Występują w niej dwa rodzaje obiektów (klasy i zbiory) i relacja należenia

${\displaystyle x\in y}$

jest określona tylko wtedy, gdy ${\displaystyle x}$ jest zbiorem. W literaturze istnieje kilka różnych aksjomatyk określanych jako aksjomaty teorii klas von Neumanna-Bernaysa-Gödla. Różnice między nimi mogą być bardzo istotne a odpowiadające im teorie mogą być różne. Jedną ze spotykanych aksjomatyk jest następująca (w tym ujęciu zakłada się bardzo silną wersję AC):

• Aksjomaty extensjonalności (klasy mające te same elementy są równe; zbiory mające te same elementy są równe).
• Dla każdej formuły ${\displaystyle \varphi ,}$ w której nie ma kwantyfikowania po klasach, wprowadzamy aksjomat orzekający, że istnieje klasa złożona z tych zbiorów, które spełniają tę formułę.
• Aksjomat pary (dla każdych zbiorów ${\displaystyle x,y}$ istnieje zbiór ${\displaystyle \{x,y\}}$ którego jedynymi elementami są ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle y}$).
• Dla każdej klasy C,

istnieje zbiór ${\displaystyle c}$ taki że ${\displaystyle (\forall x)(x\in c\Leftrightarrow x\in \mathbf {C} )}$ wtedy i tylko wtedy, gdy

nie istnieje żadna bijekcja z C na klasę V wszystkich zbiorów.

• Aksjomat zbioru potęgowego: dla zbioru ${\displaystyle x,}$ istnieje zbiór złożony z wszystkich podzbiorów ${\displaystyle x.}$
• Aksjomat sumy: dla każdego zbioru ${\displaystyle x}$ istnieje zbiór złożony ze wszystkich elementów zbioru ${\displaystyle x.}$
• Aksjomat nieskończoności: istnieje zbiór induktywny, tzn. zbiór ${\displaystyle w}$ taki że

${\displaystyle \varnothing \in w\ \wedge \ (\forall y\in w)(y\cup \{y\}\in w)}$

• Aksjomat regularności: w każdej niepustej klasie C można znaleźć element ${\displaystyle x}$ rozłączny z tą klasą.

Teoria NBG jest konserwatywnym rozszerzeniem ZFC (tzn. zdania w języku ZFC są dowodliwe w ZFC wtedy i tylko wtedy, gdy są one dowodliwe w NBG).