Moc zbioru

Moc zbioru, liczba kardynalna – uogólnienie pojęcia liczebności zbioru na dowolne zbiory, także nieskończone[1]. Moc zbioru liczb naturalnych oznacza się symbolem ${\displaystyle \aleph _{0}}$ (czytanym alef zero z hebrajską literą alef i indeksem).

Pojęcie mocy zbioru opiera się na pojęciu równoliczności dwóch zbiorów: zbiory ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ są równoliczne, gdy istnieje bijekcja (funkcja różnowartościowa i „na”) między zbiorami ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B.}$ Obrazowo mówiąc, gdy każdy element zbioru ${\displaystyle A}$ można połączyć w parę z dokładnie jednym elementem zbioru ${\displaystyle B}$ i odwrotnie[2]. Łączenie elementów w pary jest jedynym sposobem „porównania” zbiorów nieskończonych, nie można – tak jak dla zbiorów skończonych – policzyć elementów obu zbiorów.

Zbiory mają tę samą moc wtedy i tylko wtedy, gdy są równoliczne.

Mocą zbioru skończonego jest liczba jego elementów: dla zbioru ${\displaystyle n}$-elementowego jest to liczba naturalna ${\displaystyle n.}$ Tym samym moce ${\displaystyle n}$-elementowych zbiórów liczby naturalnych wraz z zerem są skończonymi liczbami kardynalnymi. Moce zbiorów nieskończonych są nieskończonymi liczbami kardynalnymi.

Georg Cantor, twórca teorii mnogości, określał moc zbioru jako tę własność, którą otrzymamy abstrahując od charakteru elementów zbioru i ich wzajemnych relacji takich, jak np. uporządkowanie.