Rozmaitość riemannowska
typ rozmaitości różniczkowej z metryką / Z Wikipedii, wolnej encyclopedia
Drogi AI, mówmy krótko, odpowiadając po prostu na te kluczowe pytania:
Czy możesz wymienić najważniejsze fakty i statystyki dotyczące Rozmaitość riemannowska?
Podsumuj ten artykuł dla 10-latka
Rozmaitość riemannowska (przestrzeń Riemanna) – rzeczywista rozmaitość różniczkowa wymiaru w której zdefiniowana jest odległość (metryka) pomiędzy punktami w następujący sposób:
(1) jeżeli wprowadzi się w rozmaitości układ współrzędnych krzywoliniowych, tak że każdy punkt rozmaitości ma określone współrzędne to długość infinitezymalnego wektora łączącego dany punkt z infinitezymalnie blisko położonym innym punktem rozmaitości zadana jest wzorem
gdzie współczynniki stanowią współrzędne tensora metrycznego obliczonego w punkcie rozmaitości. Przy tym żąda się, by tensor metryczny był dodatnio określony w całej przestrzeni – oznacza to, że infinitezymalne przemieszczenie musi być liczbą dodatnią w każdym miejscu rozmaitości – analogicznie jak w przestrzeni euklidesowej.
Warunek dodatniej określoności oznacza matematycznie, że wszystkie minory główne liczone wzdłuż przekątnej macierzy tensora powinny być dodatnie, począwszy od wyznacznika tensora, tj. np.
- dla każdego
(2) Tensor metryczny pozwala obliczać długości krzywych w rozmaitości (patrz niżej).
(3) Metrykę (odległość) pomiędzy dowolnymi punktami rozmaitości definiuje się jako długość najkrótszej krzywej zawartej w i łączącej te punkty.
Krzywa ta jest linią geodezyjną, gdy jednak punkty są infinitezymalnie odległe, tj. to geodezyjna redukuje się do odcinka prostej euklidesowej – metryka jest wtedy równa długości elementu liniowego
Rozmaitość riemannowska jest więc przestrzenią metryczną, z metryką zdefiniowaną w oparciu o różniczkowe elementy liniowe których współczynniki są elementami tensora metrycznego.
(4) Tensor metryczny pozwala obliczać inne wielkości geometryczne na rozmaitości: krzywizny, pola powierzchni, objętości (krzywych, powierzchni, przestrzeni), kąty, gradienty czy dywergencje funkcji, rotacje pól wektorowych, a także zapisywać równania obiektów geometrycznych, np. krzywych, powierzchni itp. zawartych w rozmaitości. W ten sposób definiuje się geometrię na rozmaitości.
Nazwa rozmaitości pochodzi od Bernharda Riemanna[1].
Uwaga:
Jeżeli zamiast warunku dodatniej określoności tensora metrycznego nałoży się mniej wymagający warunek, by tensor był niezdegenerowany, to uzyskuje się w ogólnym przypadku rozmaitości pseudoriemannowskie. Albert Einstein użył teorii pseudorozmaitości Riemanna w sformułowaniu ogólnej teorii względności.