Twierdzenie Gelfonda-Schneidera – twierdzenie teorii liczb, które pozwala stwierdzić, że liczby pewnej postaci (opisanej w twierdzeniu) są liczbami przestępnymi. Udowodnione po raz pierwszy w roku 1934 przez Aleksandra Gelfonda i niezależnie w roku 1935 przez Theodora Schneidera. Jest częściowym rozwiązaniem 7 problemu Hilberta.
Uogólnieniem tego twierdzenia na skończone iloczyny potęg jest twierdzenie Bakera, za które autor otrzymał medal Fieldsa w 1970 r.
- Jeżeli i są liczbami algebraicznymi, nie jest liczbą niewymierną, to każda wartość jest liczbą przestępną.
- Uwagi
- i nie muszą być liczbami rzeczywistymi – w ogólności mogą być liczbami zespolonymi.
- W ogólności gdzie „log” oznacza logarytm zespolony, może przyjmować kilka wartości. To właśnie oznacza zwrot „każda wartość”.
- Równoważnie można sformułować twierdzenie Gelfonda w sposób następujący:
- jeżeli oraz są różnymi od zera liczbami algebraicznymi, to jest albo liczbą wymierną, albo przestępną.
- Pominięcie wymogu, by było liczbą algebraiczną sprawia, że twierdzenie przestaje być prawdziwe: jeśli np. i (jest to liczba przestępna), to jest liczbą algebraiczną. Pełny opis wartości tych i dla których jest liczbą przestępną nie jest znany.