Loading AI tools
parametr podzbioru przestrzeni metrycznej Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Wymiar Hausdorffa – liczbowy niezmiennik metryczny; nazwa pojęcia pochodzi od nazwiska Feliksa Hausdorffa[1].
Niech Niech będzie przestrzenią metryczną. Dla dowolnego podzbioru określamy miarę zewnętrzną
gdzie infimum bierzemy po rodzinach zbiorów które pokrywają i zawierają zbiory o średnicy mniejszej lub równej
Gdy maleje, to rośnie. Zatem poniższa granica (skończona lub nie) istnieje i jest nazywana miarą Hausdorffa[2] (dla wykładnika ):
Łatwo sprawdzić, że:
Wymiar Hausdorffa określa się wówczas jako
Wymiar Hausdorffa metrycznej przestrzeni ośrodkowej jest zawsze nie mniejszy od jej wymiaru topologicznego. Edward Marczewski (1937)[3] udowodnił, że każda ośrodkowa przestrzeń metryczna dopuszcza metrykę indukującą jej topologię i taką, że wymiar Hausdorffa przy tej metryce jest równy wymiarowi topologicznemu.
Podobne twierdzenie, ale tylko dla przestrzeni metrycznych zwartych, dowiedli wspólnie Lew Pontriagin i Lew Sznirelman (1932)[4] wykorzystując zamiast miary Hausdorffa logarytm minimalnych liczności ε-pokryć, podzielony przez
Wynik Marczewskiego (oraz Eilenberga) przedstawiony jest w klasycznej monografii Witolda Hurewicza i Henry’ego Wallmana[5]; patrz też rosyjskie tłumaczenie[6], gdzie znajduje się dodatek ze wspomnianą pracą Pontriagina-Sznirelmana.
Dla większości zbiorów fraktalnych w przestrzeni metrycznej, obliczanie wymiaru fraktalnego może okazać się trudne[7]. Jednak dla pewnej klasy obiektów fraktalnych można korzystać z następującego twierdzenia[8][9]:
Niech będzie atraktorem układu iterowanych odwzorowań będących zwężającymi podobieństwami o skalach podobieństwa Ponadto załóżmy, że obrazy atraktora są rozłączne, to znaczy, że dla każdego zachodzi Wtedy wymiar Hausdorffa jest równy liczbie będącej rozwiązaniem równania:
Powyższe równanie jest konsekwencją następującego zapisu oraz własnościami miary
Przykład: dywan Sierpińskiego:
Dywan Sierpińskiego jest atraktorem układu IFS ośmiu podobieństw o skalach podobieństwa Wtedy rozwiązaniem równania
jest
Dla kostki Mengera będzie to więc dla piramidy Sierpińskiego a dla zbioru Cantora
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.