Ciąg dokładny

Niech ${\displaystyle \{G_{i}\}}$ będzie ciągiem grup oraz ${\displaystyle \varphi _{i}\colon G_{i}\to G_{i+1}}$ – ciągiem homomorfizmów:

${\displaystyle \ldots \xrightarrow {\varphi _{n-1}} \,G_{n}\,\xrightarrow {\varphi _{n}} \,G_{n+1}\,\xrightarrow {\varphi _{n+1}} \ldots }$

Ten ciąg grup i homomorfizmów nazywamy ciągiem dokładnym, jeśli obraz każdego homomorfizmu jest równy jądru następnego homomorfizmu:

${\displaystyle \mathrm {im} \,\varphi _{n}=\ker \,\varphi _{n+1}}$^[1],

gdzie:

${\displaystyle \mathrm {im} \,\varphi _{n}=\{\varphi (g):g\in G_{n}\},}$

${\displaystyle \ker \,\varphi _{n+1}=\{g\in G_{n+1}:\varphi (g)=e_{n+2}\},}$

${\displaystyle e_{n}}$ jest elementem neutralnym grupy ${\displaystyle G_{n}.}$

Ciągi dokładne określa się także dla innych niż grupy struktur algebraicznych, na przykład dla modułów, jeśli są one grupami ze względu na jedno z działań^[2].

Kategorie abelowe

Ciąg

${\displaystyle \ldots \xrightarrow {\alpha _{n-1}} \,A_{n}\,\xrightarrow {\alpha _{n}} \,A_{n+1}\,\xrightarrow {\alpha _{n+1}} \,A_{n+2}\,\dots }$

obiektów kategorii abelowej ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ i morfizmów ${\displaystyle \alpha _{n},}$ takich że

${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\alpha _{n+1}=\mathrm {Im} \,\alpha _{n}}$

jest nazywany ciągiem dokładnym^[3].

Przykłady

• Niech ${\displaystyle \mathrm {1} }$ oznacza grupę trywialną (składającą się tylko z elementu neutralnego). Wtedy dokładność ciągu:

${\displaystyle \mathrm {1} \to G{\xrightarrow {\varphi }}H}$ oznacza, że ${\displaystyle \varphi }$ jest monomorfizmem, bo ${\displaystyle \ker \,\varphi =1,}$ gdzie 1 jest elementem neutralnym grupy ${\displaystyle H,}$

${\displaystyle G{\xrightarrow {\varphi }}H\to \mathrm {1} }$ oznacza, że ${\displaystyle \varphi }$ jest epimorfizmem, bo ${\displaystyle \mathrm {im} \,\varphi =H,}$

${\displaystyle \mathrm {1} \to G{\xrightarrow {\varphi }}H\to \mathrm {1} }$ oznacza, że ${\displaystyle \varphi }$ jest izomorfizmem, co wynika z dwóch poprzednich przykładów.

• Niech grupa ${\displaystyle G}$ zawiera nietrywialną podgrupę normalną ${\displaystyle G_{0}.}$ Wtedy ciąg dokładny

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to G_{1}\to 1}$

nazywa się rozszerzeniem grupy ${\displaystyle G_{1}}$ za pomocą grupy ${\displaystyle G_{0}.}$ Badanie rozszerzeń grupy sprowadza się do badania grup: podgrupy ${\displaystyle G_{0}}$ oraz faktorgrupy ${\displaystyle G_{1}=G/G_{0}}$^[4].

• Kompleks łańcuchowy

${\displaystyle \ldots \leftarrow K_{n-1}\xleftarrow {\partial _{n}} K_{n}\xleftarrow {\partial _{n+1}} K_{n+1}\leftarrow \ldots }$

jest dokładny wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle n}$ spełniona jest równość

${\displaystyle \ker(\partial _{n})=\operatorname {im} (\partial _{n+1}),}$

to znaczy, gdy dla wszystkich ${\displaystyle n}$ zachodzi równość ${\displaystyle H_{n}K=0.}$

Zatem homologie można interpretować jako miarę odchylenia kompleksu od dokładności. Kompleks dokładny nazywany jest kompleksem acyklicznym (nie ma w nim żadnych cykli poza brzegami)^[5].

• Dla przekształcenia łańcuchowego ${\displaystyle f\colon K_{\bullet }\to L_{\bullet }}$ kategorii ${\displaystyle \partial {\mathcal {AG}}}$ kompleksy ${\displaystyle L_{\bullet },}$ stożek ${\displaystyle Cf_{\bullet }}$ i zawieszenie ${\displaystyle K_{\bullet }^{+}}$ ze sobą związane krótkim ciągiem dokładnym:

${\displaystyle 0\to L_{\bullet }{\xrightarrow {\iota }}Cf_{\bullet }{\xrightarrow {\kappa }}K_{\bullet }^{+}\to 0,}$

gdzie ${\displaystyle \iota y=(y,0)}$ i ${\displaystyle \kappa (y,x)=x.}$

Zobacz też

• ciąg spektralny