Obraz (matematyka)

Obraz – zbiór wszystkich wartości (należących do przeciwdziedziny) przyjmowanych przez funkcję dla każdego elementu danego podzbioru jej dziedziny^[1].

f jest funkcją o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y. Żółty owal w Y jest obrazem funkcji f.

Obraz funkcji to obraz jej całej dziedziny; dla funkcji ${\displaystyle f:X\to Y}$ oznacza się go ${\displaystyle f[X],f(X),\operatorname {im} (f)}$ (ang. image – obraz)^{[potrzebny przypis]} lub ${\displaystyle W_{f}}$^[2]:

${\displaystyle \{y\in Y:\exists x\in X\ y=f(x)\}.}$

Zbiór ten jest też znany jako zbiór wartości^[2][3][4] lub przeciwdziedzina, przy czym dwie dalsze nazwy bywają stosowane wymiennie^[5][6]. Inne źródła definiują te dwa terminy inaczej niż obraz funkcji^{[potrzebny przypis][a]}.

Obraz można zdefiniować nie tylko dla funkcji, ale ogólnie dla wszystkich relacji dwuargumentowych^[7].

Definicja

Słowo „obraz” może oznaczać jedno z trzech poniższych, powiązanych ze sobą, pojęć. Dalej ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ oznacza funkcję (w szczególności, np. w algebrze liniowej, operator) ze zbioru ${\displaystyle X}$ w zbiór ${\displaystyle Y.}$

Obraz elementu

Jeżeli ${\displaystyle x}$ jest elementem ${\displaystyle X,}$ to ${\displaystyle f(x)=y,}$ czyli wartość funkcji ${\displaystyle f}$ na elemencie ${\displaystyle x,}$ nazywa się obrazem ${\displaystyle x}$ poprzez ${\displaystyle f.}$

Obraz zbioru

Obrazem zbioru ${\displaystyle A\subseteq X}$ w funkcji ${\displaystyle f}$ nazywa się podzbiór ${\displaystyle f[A]\subseteq Y}$ wszystkich obrazów elementów tego zbioru, tzn. zbiór

${\displaystyle \left\{y\in Y\colon f(x)=y{\text{ dla pewnego }}x\in A\right\}=\left\{f(x)\in Y\colon x\in A\right\}.}$

Jeżeli nie istnieje ryzyko pomyłki, to zamiast ${\displaystyle f[A]}$ pisze się ${\displaystyle f(A).}$ Zapis ten pozwala na interpretację obrazu poprzez ${\displaystyle f}$ jako funkcji, której dziedziną jest zbiór potęgowy (wszystkie podzbiory) zbioru ${\displaystyle X,}$ a przeciwdziedziną zbiór potęgowy zbioru ${\displaystyle Y.}$

Notacja

Powyższe sposoby zapisu mogą prowadzić do nieścisłości. Alternatywą^[8] może być oddzielny symbol dla obrazu jako funkcji między zbiorami potęgowymi:

Notacja strzałkowa

${\displaystyle f^{\to }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y),}$ gdzie ${\displaystyle f^{\to }(A)=\{f(a)\colon a\in A\},}$

Notacja gwiazdkowa

${\displaystyle f_{\star }\colon {\mathcal {P}}(X)\to {\mathcal {P}}(Y)}$ zamiast ${\displaystyle f^{\to },}$

Inne

Alternatywną notacją ${\displaystyle f[A]}$ wykorzystywaną m.in. w logice matematycznej i teorii mnogości jest ${\displaystyle f''A}$^{[potrzebny przypis]}.

Przykłady

Brzeg zbioru Mandelbrota jako obraz okręgu jednostkowego względem odwzorowania ${\displaystyle \Psi _{M}.}$

Kardioida jako obraz okręgu jednostkowego.

Krzywa sercowa jako obraz okręgu jednostkowego.

• ${\displaystyle f\colon \{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$ określona wzorem ${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a&{\text{dla }}x=1,2\\c&{\text{dla }}x=3.\end{cases}}}$

  Obrazem zbioru ${\displaystyle \{2,3\}}$ poprzez ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle f[\{2,3\}]=\{a,c\}.}$ Obrazem funkcji jest ${\displaystyle \{a,c\}.}$

• ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ dana wzorem ${\displaystyle f(x)=x^{2}.}$

  Obrazem ${\displaystyle \{-2,3\}}$ w ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle f[\{-2,3\}]=\{4,9\},}$ a obrazem ${\displaystyle f}$ jest ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.}$

• Jeżeli ${\displaystyle M}$ jest rozmaitością, a ${\displaystyle \pi \colon \operatorname {T} M\to M}$ jest rzutem kanonicznym wiązki stycznej ${\displaystyle \operatorname {T} M}$ na ${\displaystyle M,}$ to przestrzenie styczne ${\displaystyle \operatorname {T} _{x}(M)}$ dla ${\displaystyle x\in M.}$ Jest to przykład wiązki włóknistej.

Własności

Ogólne

Niech dana będzie funkcja ${\displaystyle f\colon X\to Y.}$ Dla wszystkich podzbiorów ${\displaystyle A,A_{1},A_{2}\subseteq X}$ oraz ${\displaystyle B,B_{1},B_{2}\subseteq Y}$ zachodzą następujące własności:

• obraz jest podzbiorem przeciwdziedziny:

  ${\displaystyle f[A]\subseteq Y;}$

• operacja obrazu jest monotoniczna, tzn.

  ${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\Rightarrow f\left[A_{1}\right]\subseteq f\left[A_{2}\right]}$ oraz

Obraz w ogólności nie zachowuje mocy podzbiorów. ${\displaystyle |f[A]|\leqslant |A|,}$ a równość zachodzi dla iniekcji (funkcji różnowartościowych)^{[potrzebny przypis]}.

Związki z algebrą zbiorów

Zachodzą też poniższe związki z działaniami na zbiorach jak ich suma ${\displaystyle (\cup )}$ i przekrój ${\displaystyle (\cap )}$^[9]:

${\displaystyle f[A\cup B]=f[A]\cup f[B],}$

${\displaystyle f[A\cap B]\subseteq f[A]\cap f[B].}$

W drugim wzorze zachodzi równość, jeśli funkcja jest różnowartościowa (iniektywna)^{[potrzebny przypis]}. Z powyższych wynikają w szczególności te oto relacje z różnicą zbiorów:

${\displaystyle f\left[A\setminus B\right]\supseteq f[A]\setminus f[B],}$

Powyższe związki obrazu z algebrą (Boole’a) przekrojów i sum zachodzą nie tylko dla par zbiorów. Przez indukcję można udowodnić, że zachodzą dla dowolnej skończonej liczby zbiorów, a oprócz tego zachodzą dla dowolnej rodziny podzbiorów, także nieprzeliczalnej. Niech ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów ${\displaystyle X,}$ a ${\displaystyle (B_{j})_{j\in J}}$ będzie rodziną indeksowaną podzbiorów ${\displaystyle Y.}$ Wówczas

• ${\displaystyle f\left[\bigcup A_{i}\right]=\bigcup f\left[A_{i}\right],}$
• ${\displaystyle f\left[\bigcap A_{i}\right]\subseteq \bigcap f\left[A_{i}\right]}$

W języku algebry podzbiorów powyższe obserwacje oznaczają, że funkcja brania obrazu jest homomorfizmem półkrat, lecz nie krat, ponieważ nie zawsze zachowuje przekroje.

Związki z przeciwobrazem

Istnieją też ogólne związki obrazu z pojęciem przeciwobrazu^[9]:

• ${\displaystyle f[f^{-1}[B]]\subseteq B,}$ równość dla funkcji „na” (suriekcji);
• ${\displaystyle f^{-1}[f[A]]\supseteq A,}$ równość dla funkcji różnowartościowych (iniekcji).
• ${\displaystyle f[A]\subseteq B\Leftrightarrow A\subseteq f^{-1}[B].}$

Uwagi

Zobacz hasło obraz w Wikisłowniku

1. Podobny problem istnieje w języku angielskim, z którego zapożyczono oznaczenia obrazu funkcji ${\displaystyle f}$ postaci ${\displaystyle \operatorname {rg} (f)}$ bądź ${\displaystyle \operatorname {ran} (f)}$ (ang. range – zbiór wartości, przeciwdziedzina; dosł. zakres)^{[potrzebny przypis]}.