Czworościan

Czworościan – wielościan o czterech trójkątnych ścianach, równoważnie definiowany jako ostrosłup trójkątny^[1]. Każda taka bryła ma 6 krawędzi i 4 wierzchołki^[a].

Przykład czworościanu

Inny przykład czworościanu

Szczególne przypadki (odmiany) czworościanów to:

• ostrosłup trójkątny prawidłowy – co najmniej jedna ze ścian to trójkąt równoboczny, a pozostałe są równoramienne;
• czworościan foremny – szczególny przypadek powyższego, w którym wszystkie ściany są równoboczne.

Uogólnieniem czworościanu jest sympleks – czworościan to jego przypadek trójwymiarowy.

Wzory

Objętość

Jeśli czworościan – niekoniecznie foremny – ma wierzchołki ${\displaystyle A_{1},\ A_{2},\ A_{3},\ A_{4},}$ to jego objętość jest dana wzorem:

${\displaystyle V={\sqrt {\frac {\Delta }{288}}},}$

gdzie zmienna pomocnicza ${\displaystyle \Delta }$ to wartość wyznacznika:

${\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}&1\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}&1\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}&1\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0&1\\1&1&1&1&0\end{vmatrix}},}$

${\displaystyle a_{ij}}$ to długość krawędzi łączącej wierzchołek ${\displaystyle A_{i}}$ z wierzchołkiem ${\displaystyle A_{j}.}$

Promień sfery opisanej

Jest opisany wzorem:

${\displaystyle R={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\Gamma }{\Delta }}},}$

gdzie zmienna pomocnicza ${\displaystyle \Gamma }$ to

${\displaystyle \Gamma ={\begin{vmatrix}0&a_{12}^{2}&a_{13}^{2}&a_{14}^{2}\\a_{12}^{2}&0&a_{23}^{2}&a_{24}^{2}\\a_{13}^{2}&a_{23}^{2}&0&a_{34}^{2}\\a_{14}^{2}&a_{24}^{2}&a_{34}^{2}&0\end{vmatrix}}.}$

Promień sfery wpisanej

Można go obliczyć wzorem:

${\displaystyle r={\frac {3V}{S_{A_{1}}+S_{A_{2}}+S_{A_{3}}+S_{A_{4}}}},}$

gdzie ${\displaystyle S_{A_{i}}}$ to pole ściany niezawierającej wierzchołka ${\displaystyle A_{i}.}$

Inne własności

Przykładowe przekroje czworościanu z płaszczyznami – zacieniowane trójkąty

Kąt trójścienny oraz długości wychodzących z niego krawędzi wyznaczają jednoznacznie czworościan. Jeśli ${\displaystyle A_{1}}$ i ${\displaystyle A_{2},}$ ${\displaystyle B_{1}}$ i ${\displaystyle B_{2}}$ oraz ${\displaystyle C_{1}}$ i ${\displaystyle C_{2}}$ są punktami leżącymi parami na prostych zawierających ramiona kąta trójściennego o wierzchołku S, to objętości czworościanów ${\displaystyle SA_{1}B_{1}C_{1}}$ i ${\displaystyle SA_{2}B_{2}C_{2}}$ spełniają zależność^[2]:

${\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\frac {SA_{1}}{SA_{2}}}{\frac {SB_{1}}{SB_{2}}}{\frac {SC_{1}}{SC_{2}}}.}$

Dowód tego faktu można przeprowadzić bez zmniejszenia ogólności zakładając, że jedna z par punktów leży na tej samej półprostej (ewentualna symetria środkowa względem S jednego z czworościanów), a nawet że jeden punkt jest wspólny (jednokładność jednego z czworościanów zmienia objętość jak sześcian skali). Wówczas czworościany mają wspólną wysokość i stosunek pól podstaw wynikający ze wzoru: ${\displaystyle S=ab\sin \alpha .}$

Uwagi

1. Jest to zgodne z twierdzeniem Eulera o wielościanach: χ = W – K + S = 4 – 6 + 4 = 2.