Część wspólna

Część wspólna, przekrój, przecięcie, iloczyn mnogościowy^[1] – zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.

Definicje

Przekrój zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ oznaczony kolorem fioletowym

Część wspólna zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ to zbiór, do którego należą te elementy zbioru ${\displaystyle A,}$ które należą również do ${\displaystyle B}$^[2][3]. Część wspólna zbiorów ${\displaystyle A}$ i ${\displaystyle B}$ jest oznaczana przez ${\displaystyle A\cap B.}$ Tak więc:

${\displaystyle x\in (A\cap B)\Leftrightarrow (x\in A)\land (x\in B)}$^[2][4][5],

co jest równoważne zapisowi

${\displaystyle A\cap B=\{x\in \Omega :x\in A\wedge x\in B\}}$^[6][7],

gdzie ${\displaystyle \Omega }$ jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią^[8][9] lub uniwersum^[10].

Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór ${\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}}$ elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$^[11]:

${\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {A}}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A){\Big )}.}$

Można to równoważnie zapisać jako

${\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}}=\{x\in \Omega$ :(\forall A\in {\mathcal {A}})(x\in A)\}} ^[12].

Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I},}$ gdzie zbiór indeksów ${\displaystyle I}$ jest niepusty, część wspólną definiuje się jako

${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}=\{a\in \Omega$ :(\forall i\in I)(a\in A_{i})\},}

co jest równoważne

${\displaystyle a\in \bigcap _{i\in I}A_{i}\Leftrightarrow {\Big (}(\forall i\in I)(a\in A_{i}){\Big )}}$^[13][14].

Przykłady

• Niech ${\displaystyle \mathbb {N} }$ będzie zbiorem liczb naturalnych, a ${\displaystyle P}$ niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas ${\displaystyle \mathbb {N} \cap P}$ jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.

${\displaystyle \mathbb {N} \cap P=\{n\in \mathbb {N} :2}$ dzieli ${\displaystyle n\}.}$

• ${\displaystyle (0,1)\cap [1,2]=\varnothing ,}$ ale ${\displaystyle [0,1]\cap [1,2]=\{1\}}$
• ${\displaystyle \bigcap _{n\in \mathbb {N} }\left(1-{\frac {1}{n+1}},1+{\frac {1}{n+1}}\right)=\{1\}}$
• Niech ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek ${\displaystyle [{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}).}$ Wówczas

${\displaystyle \bigcap {\mathfrak {A}}=[{\sqrt {2}},{\sqrt {5}}].}$

Własności

Operacje skończone

Dla dowolnych zbiorów ${\displaystyle A,B,C}$ zachodzą następujące równości:

• ${\displaystyle \bigcap \{A\}=A=A\cap A,}$
• ${\displaystyle \bigcap \{A,B\}=A\cap B,}$
• ${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$^[2]     (łączność),
• ${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$^[2]     (przemienność),
• ${\displaystyle (A\cap B)\cup C=(A\cup C)\cap (B\cup C)}$ oraz ${\displaystyle (A\cup B)\cap C=(A\cap C)\cup (B\cap C)}$^[15]     (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$ oraz ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$^[16]     (prawo De Morgana).

Ponadto,

• ${\displaystyle A\subseteq B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle A\cap B=A.}$

Operacje nieskończone

Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\},}$ ${\displaystyle \{B_{i}:i\in I\}}$ oraz ${\displaystyle \{C_{j,k}:j\in J\ \wedge \ k\in K\}}$ będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów ${\displaystyle I,J,K}$ są niepuste. Niech ${\displaystyle D}$ będzie dowolnym zbiorem. Wówczas

• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap B_{i})=\bigcap _{i\in I}A_{i}\cap \bigcap _{i\in I}B_{i}}$^[17]
• ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}A_{i}\cup \bigcap _{i\in I}B_{i}\subseteq \bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup B_{i})}$
• ${\displaystyle D\cap \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cap D)}$^[18]
• ${\displaystyle D\cup \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcap _{i\in I}(A_{i}\cup D)}$^[18]
• ${\displaystyle D\setminus \bigcap _{i\in I}A_{i}=\bigcup _{i\in I}D\setminus A_{i}}$^[19]
• ${\displaystyle \bigcap _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}=\bigcap _{k\in K}\bigcap _{j\in J}C_{j,k}}$
• ${\displaystyle \bigcup _{j\in J}\bigcap _{k\in K}C_{j,k}\subseteq \bigcap _{k\in K}\bigcup _{j\in J}C_{j,k}}$

Związek z funkcjami

Dla dowolnej funkcji ${\displaystyle f\colon X\longrightarrow Y,}$ dowolnej rodziny indeksowanej ${\displaystyle \{A_{i}:i\in I\}}$ podzbiorów zbioru ${\displaystyle X}$ oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej ${\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}}$ podzbiorów zbioru ${\displaystyle Y,}$ zachodzą następujące dwa stwierdzenia:

• ${\displaystyle f^{-1}[\bigcap _{j\in J}B_{j}]=\bigcap _{j\in J}f^{-1}[B_{j}]}$^[20] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
• ${\displaystyle f[\bigcap _{i\in I}A_{i}]\subseteq \bigcap _{i\in I}f[A_{i}]}$^[21] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).

W zbiorze potęgowym

Zobacz też: zbiór potęgowy.

Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego ${\displaystyle U}$ (tzw. uniwersum) oraz ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbf {U} )}$ jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru ${\displaystyle U,}$ to

${\displaystyle ({\mathcal {P}}(\mathbf {U} ),\cup ,\cap ,\setminus ,\varnothing ,\mathbf {U} )}$

jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór ${\displaystyle U}$ jest elementem neutralnym operacji części wspólnej ${\displaystyle \cap .}$

Zapis

${\displaystyle \bigcap {\mathcal {A}},}$

gdy ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\varnothing }$ (tzn. gdy ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu^[22].

Zobacz też

Zobacz podręcznik w Wikibooks: Matematyka dla liceum – Liczby i ich zbiory

• iloczyn kartezjański
• prawa De Morgana
• różnica zbiorów
• suma zbiorów