Najlepsze pytania
Chronologia
Czat
Perspektywa
Część wspólna
działanie na zbiorach – najszerszy wspólny podzbiór Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Remove ads
Część wspólna, przekrój, przecięcie, iloczyn mnogościowy[1] – zbiór zawierający te i tylko te elementy, które należą jednocześnie do obu/wszystkich wybranych zbiorów. Część wspólną definiuje się także dla dowolnych niepustych rodzin zbiorów.
Definicje
Podsumowanie
Perspektywa

Część wspólna zbiorów i to zbiór, do którego należą te elementy zbioru które należą również do [2][3]. Część wspólna zbiorów i jest oznaczana przez Tak więc:
co jest równoważne zapisowi
gdzie jest zbiorem wszystkich rozważanych elementów zwanym przestrzenią[8][9] lub uniwersum[10].
Część wspólną można zdefiniować także dla dowolnej, niepustej rodziny zbiorów: jeżeli jest niepustą rodziną zbiorów, to jej część wspólną definiuje się jako zbiór elementów należących jednocześnie do wszystkich zbiorów z rodziny [11]:
Można to równoważnie zapisać jako
- [12].
Podobnie dla indeksowanej rodziny zbiorów gdzie zbiór indeksów jest niepusty, część wspólną definiuje się jako
co jest równoważne
Remove ads
Przykłady
- Niech będzie zbiorem liczb naturalnych, a niech będzie zbiorem parzystych liczb całkowitych. Wówczas jest zbiorem wszystkich parzystych liczb naturalnych, tzn.
- ale
- Niech będzie rodziną wszystkich otwartych przedziałów o końcach wymiernych zawierających odcinek Wówczas
Remove ads
Własności
Podsumowanie
Perspektywa
Operacje skończone
Dla dowolnych zbiorów zachodzą następujące równości:
- [2] (łączność),
- [2] (przemienność),
- oraz [15] (rozdzielność każdego z dwóch działań, przekroju i sumy, względem drugiego),
- oraz [16] (prawo De Morgana).
Ponadto,
- wtedy i tylko wtedy, gdy
Operacje nieskończone
Własności przekroju skończenie wielu zbiorów uogólniają się na przekrój rodzin indeksowanych zbiorów. Niech oraz będą indeksowanymi rodzinami zbiorów, gdzie zbiory indeksów są niepuste. Niech będzie dowolnym zbiorem. Wówczas
Związek z funkcjami
Dla dowolnej funkcji dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru oraz dla dowolnej rodziny indeksowanej podzbiorów zbioru zachodzą następujące dwa stwierdzenia:
- [20] (inaczej mówiąc, przeciwobraz przekroju jest przekrojem przeciwobrazów);
- [21] (czyli obraz przekroju jest zawarty w przekroju obrazów).
W zbiorze potęgowym
Jeśli wszystkie rozważane zbiory są podzbiorami ustalonego (tzw. uniwersum) oraz jest rodziną wszystkich podzbiorów, tzw. zbiorem potęgowym, zbioru to
jest ciałem zbiorów (ogólniej: algebrą Boole’a). Algebra Boole’a ta jest zupełna. Zbiór jest elementem neutralnym operacji części wspólnej
Zapis
gdy (tzn. gdy jest rodziną pustą) nie ma matematycznego sensu[22].
Remove ads
Zobacz też
Przypisy
Bibliografia
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads