Homomorfizm ciał

Homomorfizm ciał – przekształcenie jednego ciała w drugie, które zachowuje strukturę.

Definicja formalna

Niech ${\displaystyle (R,+,\cdot )}$ oraz ${\displaystyle (S,\oplus ,\odot )}$ będą dowolnymi ciałami.

Homomorfizmem ciał ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle S}$ nazywamy dowolne odwzorowanie ${\displaystyle h\colon R\to S}$ takie, że

• ${\displaystyle h(a+b)=h(a)\oplus h(b)}$ – zachowane jest działanie addytywne,
• ${\displaystyle h(a\cdot b)=h(a)\odot h(b)}$ – zachowane jest działanie multiplikatywne.

Własności

NIech ${\displaystyle h\colon R\to S}$ jest homomorfizmem między ciałami R i S. Wtedy:

• ${\displaystyle h(0_{R})=0_{S}}$ – element neutralny dodawania w ${\displaystyle R}$ jest odwzorowywany na element neutralny dodawania w ${\displaystyle S,}$
• ${\displaystyle h(1_{R})=1_{S}}$ – element neutralny mnożenia ${\displaystyle R}$ jest odwzorowywany na element neutralny mnożenia w ${\displaystyle S,}$
• ${\displaystyle -h(a)=h(-a)}$ – element przeciwny jest odwzorowywany w element przeciwny, co wynika z rozumowania: ${\displaystyle h(a)\oplus h(-a)=h(a+(-a))=h(0_{R})=0_{S},}$
• ${\displaystyle \left(h(a)\right)^{-1}=h(a^{-1})}$ – element odwrotny jest odwzorowywany w element odwrotny.

Obraz

Obrazem homomorfizmu ${\displaystyle h}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle \operatorname {Im} (h)=\{a\in S:\exists _{b\in R}\;a=h(b)\},}$

czyli zbiór takich elementów ${\displaystyle S,}$ które są wartościami odwzorowania ${\displaystyle h}$ na co najmniej jednym elemencie zbioru ${\displaystyle R.}$

Obrazem homomorfizmu ${\displaystyle h}$ jest podciało ciała S.

Monomorfizm

Osobny artykuł: monomorfizm.

Monomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest różnowartościowy (jest iniekcją).

Epimorfizm

Osobny artykuł: epimorfizm.

Epimorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm typu „na” (będący suriekcją).

Homomorfizm ${\displaystyle h\colon R\to S}$ jest epimorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle \operatorname {Im} (h)=S.}$

Izomorfizm

Osobny artykuł: izomorfizm.

Homomorfizm ${\displaystyle h\colon R\to S}$ nazywamy izomorfizmem ciał wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle h}$ jest wzajemnie jednoznaczny (jest bijekcją), czyli jest jednocześnie monomorfizmem i epimorfizmem. Wtedy: ${\displaystyle h^{-1}}$ istnieje (ponieważ ${\displaystyle h}$ jest wzajemnie jednoznaczne) i również jest izomorfizmem.

Mówimy, że ciała ${\displaystyle R}$ i ${\displaystyle S}$ są izomorficzne, gdy istnieje izomorfizm ${\displaystyle h\colon R\to S}$ (równoważnie: izomorfizm ${\displaystyle g\colon S\to R}$) i oznaczamy ${\displaystyle R\simeq S.}$ W dowolnym zbiorze ciał relacja izomorficzności ${\displaystyle \simeq }$ jest relacją równoważności.

Zobacz też

• automorfizm
• endomorfizm
• morfizmy grup

Bibliografia

• Adamson, Iain T. (1982). Introduction to Field Theory (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-28658-1.