Implikacja materialna

Implikacja, implikacja materialna (w odróżnieniu od implikacji formalnej, tj. wynikania) – zdanie logiczne lub funkcja zdaniowa powstałe przez połączenie dwóch zdań ${\displaystyle p}$ (poprzednik implikacji) i ${\displaystyle q}$ (następnik implikacji) spójnikiem implikacji ${\displaystyle p\to q.}$

Spójnik implikacji jest spójnikiem ekstensjonalnym – implikacja przyjmuje wartości logiczne zależące jedynie od wartości logicznych łączonych zdań.

Tablica prawdy dla implikacji^[1]

${\displaystyle p}$	${\displaystyle q}$	${\displaystyle p\to q}$
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

gdzie:

1 – prawda

0 – fałsz.

Definicja

Znak „<” przyjęto nazywać znakiem implikacji, od łac. implico – wplatam, dla zaznaczenia, że następnik jest niejako wpleciony, uwikłany w poprzednik, skoro w prawdziwej implikacji poprzednik nie może być prawdziwy bez prawdziwości następnika. Samo zaś zdanie postaci „p < q”, czyli zdanie warunkowe, nazywa się częstokroć wprost implikacją. (T. Kotarbiński, Elementy teorii poznania, logiki formalnej i metodologii nauk, Warszawa, PWN, 1986 (1929), s. 140).

Notacja

Zestawienie symboli implikacji, stosowanych przez różnych autorów w początkowym okresie rozwoju logiki formalnej^[2][3]:

	Schröder, Peirce Hilbert	Peano Russell	Łukasiewicz
Implikacja	${\displaystyle p\to q}$	${\displaystyle p\supset q}$	${\displaystyle Cpq}$

Współcześnie implikację materialną często oznacza się symbolem ${\displaystyle \to }$^[4][5]. Część autorów używa symbolu ${\displaystyle \Rightarrow }$ w tym samym znaczeniu^[6][7]. Niektórzy natomiast stosują rozróżnienie:

• ${\displaystyle \to }$ oznacza implikację materialną (zdanie ${\displaystyle p\to q}$ jest zdaniem w języku przedmiotowym i może być prawdziwe lub fałszywe);
• ${\displaystyle \Rightarrow }$ to implikacja logiczna, czyli wynikanie (zapis ${\displaystyle p\Rightarrow q}$ należy do metajęzyka i oznacza, że ${\displaystyle p\to q}$ jest tautologią)^[8][9].

Symbol ${\displaystyle \Rightarrow }$ bywa także używany do oznaczenia w logice modalnej implikacji ścisłej, czyli takiej, w której nie jest możliwe, aby poprzednik był prawdziwy, a następnik fałszywy^[10].

Przykłady

Implikację można traktować jako obietnicę: „obiecuję, że jeśli dostanę dwójkę z matematyki, to zacznę odrabiać zadania”. Jeśli rzeczywiście tak się stanie (poprzednik implikacji będzie prawdziwy), to muszę odrabiać zadania (1⇒1), bo inaczej obietnica zostanie złamana (1⇒0 fałsz!). W każdym innym przypadku implikacja będzie prawdziwa, bo obietnica zostanie spełniona (dostałam piątkę, mogę albo odrabiać zadania albo sobie odpuścić).

• Zdanie „Jeśli Rzym jest stolicą Włoch, to Warszawa jest stolicą Francji” jest fałszywe, zarówno w interpretacji intuicjonistycznej (bo jedno z drugiego w żaden sposób nie wynika), jak i klasycznej (bo poprzednik jest prawdziwy, zaś następnik fałszywy).
• Zdanie „Jeśli Księżyc jest z sera, to Warszawa jest stolicą Francji” jest w interpretacji intuicjonistycznej fałszywe (bo jedno z drugim nie ma żadnego związku), natomiast w interpretacji klasycznej prawdziwe, bo poprzednik jest fałszywy, więc wynika z niego wszystko.
• Zdanie „Jeśli n jest podzielne przez 4, to jest podzielne przez 2" jest prawdziwe w obu interpretacjach dla dowolnego n.

Własności

W klasycznym rachunku zdań implikacja spełnia równoważność:

${\displaystyle (p\to q)\Leftrightarrow (\neg q\to \neg p)}$

która nazywana jest zasadą kontrapozycji. Zasada ta jest podstawą dowodu nie wprost.

Ponadto prawdziwa jest też równoważność:

${\displaystyle (p\to q)\Leftrightarrow (\lnot p\lor q)}$