Prawo kontrapozycji

Prawo kontrapozycji, prawo transpozycji^[2][3][4] – prawo rachunku zdań^[5] (tautologia^[6]) mówiące o równoważności dwóch rodzajów implikacji:

${\displaystyle (p\Rightarrow q)\iff (\neg q\Rightarrow \neg p).}$

Zawieranie się jednego zbioru w drugim oznacza, że dopełnienie drugiego zawiera się w dopełnieniu pierwszego^[1]: ${\displaystyle B\subset A\iff A'\subset B'.}$

Są one nazywane odpowiednio implikacją prostą oraz przeciwstawną^[7]. Czasem prawo transpozycji definiuje się nieco inaczej, nazywając tak każdą z czterech blisko związanych implikacji. Oprócz dwóch tworzących powyższą równoważność wyróżnia się też dwie inne^[8][9]:

${\displaystyle (p\Rightarrow \neg q)\Rightarrow (q\Rightarrow \neg p),}$

${\displaystyle (\neg p\Rightarrow q)\Rightarrow (\neg q\Rightarrow p).}$

Kontrapozycja to podstawa reguły wnioskowania modus tollens^[6], na przykład dowodów nie wprost^[10][11]. Jest przedstawiana na kwadracie logicznym przez przekątne. Była znana już w IV wieku p.n.e. – pojawia się w pismach Arystotelesa^[12][13]. Łacińska nazwa, na której opiera się ta polska, powstała najpóźniej w VI wieku – używa jej Boecjusz^[14].

Dowody

• Implikację ${\displaystyle (p\Rightarrow q)}$ można poddać kolejno przekształceniom^{[potrzebny przypis]}:

${\displaystyle \neg p\lor q}$	(eliminacja implikacji),
${\displaystyle \neg p\lor \neg \neg q}$	(podwójne zaprzeczenie),
${\displaystyle \neg \neg q\lor \neg p}$	(przemienność alternatywy),
${\displaystyle \neg q\Rightarrow \neg p}$	(eliminacja implikacji). ∎

• Reguły tej można też dowodzić tak jak innych tautologii klasycznego rachunku zdań, odwołując się do matryc logicznych – niezależnie od wartości obu zmiennych wynikiem działania jest prawda^[6][15].

• Istnieją również dowody aksjomatyczne^[16].

Przykłady użycia

Liczby niewymierne takie jak pi (π) tworzą ułamki dziesiętne nieokresowe. Wynika to z faktu, że każdy okresowy ułamek dziesiętny oznacza liczbę wymierną.

Ruch Księżyca wokół Ziemi nie jest prostoliniowy. Z pierwszej zasady dynamiki wynika, że musi za tym stać jakaś siła; jest nią grawitacja.

Matematyka

• Jeśli jakaś liczba rzeczywista jest opisywana ułamkiem dziesiętnym okresowym, to jest wymierna. Oznacza to, że liczby niewymierne mają rozwinięcie dziesiętne nieokresowe.
• Brak właściwych dzielników zera w jakimś zbiorze, np. wśród liczb rzeczywistych, można wyrażać dwojako^[a]:

  ${\displaystyle ab=0\Rightarrow (a=0\vee b=0),}$

  ${\displaystyle (a\neq 0\land b\neq 0)\Rightarrow ab\neq 0.}$

• Istnieją dwie równoważne definicje funkcji różnowartościowej (iniekcji);
• istnieją dwie równoważne definicje liniowej niezależności układu wektorów;
• warunek konieczny sumowalności szeregu to zbieżność jego elementów do zera. Oznacza to, że jeśli jakiś ciąg nie zbiega do zera, to odpowiedni szereg jest rozbieżny. Przykładem jest szereg Grandiego;
• twierdzenie Fermata o zerowaniu się pochodnej można wyrazić przez kontrapozycję: jeśli w jakimś punkcie dziedziny funkcji istnieje niezerowa pochodna, to funkcja nie ma tam ekstremum.

Fizyka

• Pierwszą zasadę dynamiki można formułować dwojako; tej najczęstszej postaci równoważna jest inna^[17]: jeśli ciało nie porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym ani nie spoczywa, to działa na nie wypadkowa siła:

  ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}\neq {\vec {0}}\Rightarrow {\vec {F}}_{w}\neq {\vec {0}};}$

Filozofia

• Paradoks czarnego kruka (paradoks Hempla) mówi, że implikacje można weryfikować przez weryfikację ich kontrapozycji, co przeczy intuicyjnemu rozumieniu weryfikacji i podważa wartość tego typu procedur.
• Kontrapozycja bywa używana w ontologicznych argumentach za wiarą w Boga^[18][19].

Inne znaczenie terminu

Czasem powyższa reguła jest znana jako transpozycja zwykła^[20] lub prosta; wtedy wyróżnia się też prawa transpozycji złożonej^[21][22]:

${\displaystyle ((p\land q)\Rightarrow r)\iff ((p\land \neg r)\Rightarrow \neg q).}$

Uwagi

1. W przekształceniu skorzystano też z prawa de Morgana negacji alternatywy, czasem zwanego drugim.

Przypisy

1. Halmos 1960 ↓, s. 17.
2. Leksińska i Leksiński 1978 ↓, s. 18.
3. Patryas 1994 ↓, s. 29.
4. Bremer 2006 ↓, s. 149.
5. rachunek zdań, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2023-05-27].
6. Grzegorczyk 1969 ↓, s. 78.
7. Rasiowa 2004 ↓, s. 183.
8. Grzegorczyk 1969 ↓, s. 82.
9. Rasiowa 2004 ↓, s. 195.
10. Leksińska i Leksiński 1978 ↓, s. 19.
11. Smoluk 2017 ↓, s. 16.
12. Słupecki i Borkowski 1984 ↓, s. 28.
13. syllogistic (ang.), Encyklopedia Britannica, britannica.com [dostęp 2023-05-27], A last type of inference is called contraposition and is produced by the fact that some propositions imply the proposition that results from the original proposition when both of its term variables are negated and their order reversed.
14. Jeff Miller, Contrapositive, [w:] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (C) (ang.), MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2023-05-27].
15. Podstawowe tautologie. f. prawo kontrapozycji, Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie, matematyka.zut.edu.pl [dostęp 2023-05-27].
16. Urchs, Nasieniewski i Kwiatkowski 1997 ↓, s. 58–59.
17. Co to jest pierwsza zasada dynamiki Newtona? – Khan Academy, pl.khanacademy.org [dostęp 2023-05-27], musi istnieć przyczyna (czyli niezerowa wypadkowa siła zewnętrzna) aby nastąpiła jakakolwiek zmiana w prędkości ruchu, tzn. zmiana wartości albo kierunku (...) do zmiany prędkości obiektu konieczna jest niezerowa siła wypadkowa.
18. Jacek Wojtysiak, O trudnościach wiary sceptyka i ostrożnej wiedzy teisty, „Diametros” nr 4, czerwiec 2005, s. 252, strona 27 w pliku, diametros.uj.edu.pl [dostęp 2023-05-27].
19. Andrzej Biłat, Logika modalna a dowód ontologiczny, „Filozofia Nauki”, Rok XX, 2012, Nr 1 (77), s. 105; strona 3 w pliku, fn.uw.edu.pl [dostęp 2023-05-07].
20. Trzęsicki 1996 ↓, s. 211.
21. Trzęsicki 1996 ↓, s. 213.
22. Stanosz 2005 ↓, s. 28.

Bibliografia

• Józef W. Bremer: Wprowadzenie do logiki. Kraków: Wydawnictwo WAM, 2006, seria: Myśl filozoficzna. ISBN 83-7318-637-9.
• Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969.
• Paul Halmos: Naive Set Theory. van Nostrand Company, 1960. ISBN 978-044203064-3. (ang.).
• Anna Leksińska, Wacław Leksiński: Elementy matematyki wyższej. Warszawa: PWN, 1978, seria: Matematyka dla politechnik.
• Wojciech Patryas: Elementy logiki dla prawników. Poznań: Ars boni et aequi, 1994. ISBN 83-900964-7-1.
• Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 14. Warszawa: PWN, 2004, seria: Biblioteka Matematyczna. ISBN 83-01-14294-4.
• Jerzy Słupecki, Ludwik Borkowski: Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. Wyd. 4. Warszawa: PWN, 1984. ISBN 83-0105028-4.
• Antoni Smoluk: Algebra liniowa. Wrocław: Wydawnictwo Uniwersytetu Ekonomicznego we Wrocławiu, 2017. ISBN 978-83-7695-635-0.
• Barbara Stanosz: Ćwiczenia z logiki. Warszawa: PWN, 2005. ISBN 83-01-14428-9.
• Kazimierz Trzęsicki: Logika. Nauka i sztuka. Białystok: Temida 2, 1996. ISBN 83-86137-35-5.
• MaxM. Urchs MaxM., MarekM. Nasieniewski MarekM., SkarbimirS. Kwiatkowski SkarbimirS., Klasyczny rachunek zdań – wykład i zadania. Skrypt dla studentów pierwszego roku, Toruń: Wydawnictwo Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, repozytorium.umk.pl, 1997, ISBN 83-231-0858-7 [dostęp 2023-05-27].

Linki zewnętrzne

• Logika – prawo kontrapozycji. Cykl „Matma – zobacz jakie to proste”, zpe.gov.pl [dostęp 2023-05-27].
  • Nagranie na YouTube, kanał Ministerstwa Edukacji i Nauki, 9 grudnia 2020.

Encyklopedie internetowe (reguła dedukcyjna):

• Britannica: topic/contraposition
• DSDE: kontraposition