Jądro (algebra liniowa)

Jądro – przeciwobraz wektora zerowego względem danego przekształcenia liniowego.

Definicja formalna

Jądro i obraz przekształcenia A.

Niech ${\displaystyle V,\;W}$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem ${\displaystyle K}$ i niech ${\displaystyle A\colon V\to W}$ będzie przekształceniem liniowym.

Jądrem przekształcenia liniowego ${\displaystyle A}$ nazywamy zbiór

${\displaystyle \ker A=\{x\in V\colon A(x)=0\},}$

Przykład jądra – operator liniowy${\displaystyle L:(x,y)\longrightarrow (x,x)}$przekształca wszystkie punkty na linii ${\displaystyle (x=0,y)}$ w punkt zerowy ${\displaystyle (0,0)}$, tworząc w ten sposób jądro dla operatora liniowego

tj. zbiór elementów ${\displaystyle x}$ przestrzeni${\displaystyle V,}$ które przechodzą w element ${\displaystyle 0}$ przestrzeni ${\displaystyle W.}$

Oznaczenie ${\displaystyle \ker }$ pochodzi od ang. kernel.

Własności

• ${\displaystyle \ker A}$ jest podprzestrzenią liniową ${\displaystyle V.}$
• przekształcenie ${\displaystyle A}$ jest różnowartościowe ${\displaystyle \iff \ker A=\{0\}}$
• Obraz przekształcenia ${\displaystyle A}$ jest izomorficzny z ilorazem przestrzeni ${\displaystyle V}$ przez jądro tego przekształcenia

${\displaystyle \mathrm {im} (A)\cong V/\ker(A){\text{.}}}$

• Wynika stąd twierdzenie o rzędzie: suma wymiaru jądra i wymiaru obrazu przekształcenia ${\displaystyle A}$ z przestrzeni ${\displaystyle V}$ jest równa wymiarowi przestrzeni ${\displaystyle V{:}}$

${\displaystyle \dim(\ker A)+\dim(\operatorname {im} A)=\dim V}$

• Jeżeli ${\displaystyle V}$ jest przestrzenią z wewnętrznym iloczynem skalarnym, to iloraz ${\displaystyle V/\ker(A)}$ może być uważany za ortogonalne dopełnienie jądra ${\displaystyle \ker A}$ do przestrzeni ${\displaystyle V.}$

Zobacz też

• obraz przekształcenia liniowego (ozn. ${\displaystyle \operatorname {im} }$)
• wymiar przestrzeni (ozn. ${\displaystyle \dim }$)

Bibliografia

• Guściora H., Sadowski M., Repetytorium z algebry liniowej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1979.

Linki zewnętrzne

Szymon Charzyński, nagrania dla Khan Academy na YouTube [dostęp 2024-06-22]:

• Jądro macierzy – wprowadzenie, 12 lipca 2016.
• Wymiar jądra macierzy, 17 września 2016.

Paweł Lubowiecki, Przekształcenia liniowe cz. III. Jądro i obraz przekształcenia, Wojskowa Akademia Techniczna im. Jarosława Dąbrowskiego, kanał „Uczelnia WAT” na YouTube, 30 stycznia 2024 [dostęp 2024-09-09].