Funkcje trygonometryczne sinus i kosinus to współrzędne kartezjańskie punktu na okręgu jednostkowym Dowód jedynki trygonometrycznej przez twierdzenie Pitagorasa Niech
P
=
(
x
0
,
y
0
)
,
O
=
(
0
,
0
)
,
X
0
=
(
x
0
,
0
)
,
∠
P
O
X
0
=
α
,
|
O
P
|
=
r
.
{\displaystyle P=(x_{0},y_{0}),\,O=(0,0),\,X_{0}=(x_{0},0),\,\angle {POX_{0}}=\alpha ,\,|OP|=r.}
Zauważmy, że:
|
∠
P
X
0
O
|
=
π
2
,
{\displaystyle |\angle {PX_{0}O}|={\frac {\pi }{2}},}
więc trójkąt
P
O
X
0
{\displaystyle POX_{0}}
trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej
r
.
{\displaystyle r.}
Zatem na mocy twierdzenia Pitagorasa [ 2]
r
2
=
|
x
0
|
2
+
|
y
0
|
2
,
{\displaystyle r^{2}=|x_{0}|^{2}+|y_{0}|^{2},}
r
2
=
x
0
2
+
y
0
2
,
{\displaystyle r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2},}
1
=
(
x
0
r
)
2
+
(
y
0
r
)
2
.
{\displaystyle 1=\left({\frac {x_{0}}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{0}}{r}}\right)^{2}.}
Z definicji funkcji trygonometrycznych wyrażenie
(
x
0
r
)
2
+
(
y
0
r
)
2
{\displaystyle \left({\frac {x_{0}}{r}}\right)^{2}+\left({\frac {y_{0}}{r}}\right)^{2}}
jest równe
sin
2
α
+
cos
2
α
.
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha .}
Zatem
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
,
{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1,}
q.e.d.
Zauważmy, że to rozumowanie można przeprowadzić również w drugą stronę, co oznacza, że wzór jedynkowy jest równoważny twierdzeniu Pitagorasa. Stąd jedna z jego nazw: postać trygonometryczna twierdzenia Pitagorasa .
Ze wzoru Eulera :
sin
x
=
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
{\displaystyle \sin {x}={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}
oraz
cos
x
=
e
i
x
+
e
−
i
x
2
.
{\displaystyle \cos {x}={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}
Zatem
sin
2
x
+
cos
2
x
=
(
e
i
x
−
e
−
i
x
2
i
)
2
+
(
e
i
x
+
e
−
i
x
2
)
2
=
e
2
i
x
−
2
+
e
−
2
i
x
−
4
+
e
2
i
x
+
2
+
e
−
2
i
x
4
=
2
+
2
4
=
1
,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}&=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}+\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}}+{\frac {e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}}\\&={\frac {2+2}{4}}=1,\end{aligned}}}
q.e.d.
Stąd wynika, że jedynka trygonometryczna jest słuszna w dziedzinie liczb zespolonych .
Niech:
f
(
x
)
=
sin
2
x
+
cos
2
x
.
{\displaystyle f(x)=\sin ^{2}x+\cos ^{2}x.}
Zauważmy, że:
f
(
0
)
=
sin
2
0
+
cos
2
0
=
0
2
+
1
2
=
1.
{\displaystyle f(0)=\sin ^{2}0+\cos ^{2}0=0^{2}+1^{2}=1.}
Także:
f
′
(
x
)
=
(
sin
2
x
+
cos
2
x
)
′
=
sin
x
cos
x
+
sin
x
cos
x
−
sin
x
cos
x
−
sin
x
cos
x
=
0.
{\displaystyle f'(x)=(\sin ^{2}x+\cos ^{2}x)'=\sin x\cos x+\sin x\cos x-\sin x\cos x-\sin x\cos x=0.}
Skoro pochodna funkcji
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
Wiedząc, że
f
(
0
)
=
1
,
{\displaystyle f(0)=1,}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
sin
2
x
+
cos
2
x
=
1.
{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}
q.e.d.
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin ^{2}{x}+\cos ^{2}{x}&=\left({\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\right)^{2}+\left({\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\right)^{2}\\[1ex]&={\frac {e^{2ix}-2+e^{-2ix}}{-4}}+{\frac {e^{2ix}+2+e^{-2ix}}{4}}\\&={\frac {2+2}{4}}=1,\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571ee4ba50ce26a8979e23daa6324a64c9727459)
