Tożsamości trygonometryczne

Tożsamości trygonometryczne – podstawowe zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi.

Definicje

Funkcje sinus i kosinus można definiować sobą nawzajem, przez wzór^[1]:

${\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}$

Jest on znany jako jedynka trygonometryczna, a artykuł o niej podaje też dwie odmiany tej tożsamości. Oprócz tego za pomocą funkcji sinus i kosinus definiuje się tangens i kotangens^[1]:

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},\quad {\text{dla }}x\neq {\frac {\pi }{2}}+k\pi ,\quad {\text{gdzie k}}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}},\quad {\text{dla }}x\neq k\pi ,\quad {\text{gdzie k}}\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{\pm }}~{\operatorname {ctg} x}=\lim _{x\to x_{0}^{\pm }}~{\frac {1}{\operatorname {tg} x}},\quad {\text{dla }}x_{0}\in \mathbb {R} }$

Okresowość funkcji

Funkcje trygonometryczne są okresowe^[1] – dla dowolnej liczby całkowitej ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k\in \mathbb {Z} ){:}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin x&=\sin(x+2k\pi ),&\operatorname {ctg} x&=\operatorname {ctg} (x+k\pi ).\\\cos x&=\cos(x+2k\pi ),&\\\operatorname {tg} x&=\operatorname {tg} (x+k\pi ),&\end{aligned}}}$

Przedstawienia przy pomocy funkcji cosinus

${\displaystyle |\sin x|={\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}$

${\displaystyle |\operatorname {tg} x|={\frac {|\sin x|}{|\cos x|}}={\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}x}}{|\cos x|}}}$

${\displaystyle |\operatorname {ctg} x|={\frac {|\cos x|}{|\sin x|}}={\frac {|\cos x|}{\sqrt {1-\cos ^{2}x}}}}$

Przedstawienia przy pomocy funkcji sinus

${\displaystyle |\cos x|={\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}$

${\displaystyle |\operatorname {tg} x|={\frac {|\sin x|}{|\cos x|}}={\frac {|\sin x|}{\sqrt {1-\sin ^{2}x}}}}$

${\displaystyle |\operatorname {ctg} x|={\frac {|\cos x|}{|\sin x|}}={\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}x}}{|\sin x|}}}$

Parzystość i nieparzystość funkcji trygonometrycznych

${\displaystyle {\begin{array}{l}\sin(-x)=-\sin x&\operatorname {tg} (-x)=-\operatorname {tg} x\\\cos(-x)=\cos x&\operatorname {ctg} (-x)=-\operatorname {ctg} x\end{array}}}$

• sinus, tangens, cotangens i cosecans są funkcjami nieparzystymi
• cosinus i secans są funkcjami parzystymi

Zależności pomiędzy funkcjami a kofunkcjami

Równości

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin x=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\cos x=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\[.2em]&\operatorname {tg} x=\operatorname {ctg} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\operatorname {ctg} x=\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\\[.2em]&\sec x=\operatorname {cosec} \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)&&\operatorname {cosec} x=\sec \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\end{aligned}}}$

nazywa się związkami pomiędzy funkcjami a ich kofunkcjami. Kofunkcją sinusa jest cosinus, cosinusa sinus, tangensa cotangens itd.

Odwrotności

Funkcje trygonometryczne można układać w pary według kofunkcji lub według odwrotności. Odwrotnością sinusa jest cosecans, cosinusa secans, tangensa cotangens (i oczywiście na odwrót):

${\displaystyle {\begin{aligned}&\sin x={\frac {1}{\operatorname {cosec} x}}&&\operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}}\\[.5em]&\cos x={\frac {1}{\sec x}}&&\sec x={\frac {1}{\cos x}}\\[.5em]&\operatorname {tg} x={\frac {1}{\operatorname {ctg} x}}&&\operatorname {ctg} x={\frac {1}{\operatorname {tg} x}}\end{aligned}}}$

Funkcje sumy i różnicy kątów

Źródła^[1][2][3]:

${\displaystyle \sin(x\pm y)=\sin x\cdot \cos y\pm \cos x\cdot \sin y}$

${\displaystyle \cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp \sin x\sin y}$

${\displaystyle \operatorname {tg} (x\pm y)={\frac {\operatorname {tg} x\pm \operatorname {tg} y}{1\mp \operatorname {tg} x\operatorname {tg} y}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} (x\pm y)={\frac {\operatorname {ctg} x\cdot \operatorname {ctg} y\mp 1}{\operatorname {ctg} y\pm \operatorname {ctg} x}}}$

• 
  Sinus i cosinus sumy kątów
• 
  Sinus i cosinus różnicy kątów
• 
  Tangens sumy kątów
• 
  Tangens różnicy kątów
• 
  Cotangens sumy kątów
• 
  Cotangens różnicy kątów

Funkcje wielokrotności kątów

Kąt podwojony

Szczególny przypadek powyższych wzorów to wzory na funkcje kąta podwojonego. Źródło^[4]:

${\displaystyle \sin 2x=2\sin x\cos x}$

${\displaystyle \cos 2x=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x=1-2\sin ^{2}x=2\cos ^{2}x-1}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 2x={\frac {2\operatorname {tg} x}{1-\operatorname {tg} ^{2}\ x}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} 2x={\frac {\operatorname {ctg} x-\operatorname {tg} x}{2}}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\ x-1}{2\operatorname {ctg} x}}}$

Kąt potrojony

Źródło^[5]:

${\displaystyle \sin 3x=3\sin x-4\sin ^{3}x}$

${\displaystyle \cos 3x=4\cos ^{3}x-3\cos x}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 3x={\frac {3\operatorname {tg} x-\operatorname {tg} ^{3}\ x}{1-3\operatorname {tg} ^{2}\ x}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} 3x={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\ x-3\operatorname {ctg} x}{3\operatorname {ctg} ^{2}\ x-1}}}$

Kąt poczwórny

Źródło^[5]:

${\displaystyle \sin 4x=8\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin x=4\cos ^{3}x\sin x-4\cos x\sin ^{3}x}$

${\displaystyle \cos 4x=8\cos ^{4}x-8\cos ^{2}x+1=8\sin ^{4}x-8\sin ^{2}x+1=\cos ^{4}x-6\cos ^{2}x\sin ^{2}x+\sin ^{4}x}$

${\displaystyle \operatorname {tg} 4x={\frac {4\operatorname {tg} x-4\operatorname {tg} ^{3}\ x}{1-6\operatorname {tg} ^{2}\ x+\operatorname {tg} ^{4}\ x}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} 4x={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\ x-6\operatorname {ctg} ^{2}\ x+1}{4\operatorname {ctg} ^{3}\ x-4\operatorname {ctg} x}}}$

Wzory ogólne

Można je znaleźć przez rekurencyjne stosowanie wzorów na funkcje sumy kątów^[5].

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin nx&=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i+1}\cos ^{n-2i-1}x\sin ^{2i+1}x\\[2pt]&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i+1}\cos ^{n-2i-1}x\sin ^{2i+1}x\\&=n\cos ^{n-1}x\sin x-{n \choose 3}\cos ^{n-3}x\sin ^{3}x+{n \choose 5}\cos ^{n-5}x\sin ^{5}x-{n \choose 7}\cos ^{n-7}x\sin ^{7}x+\dots \end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos nx&=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i}\cos ^{n-2i}x\sin ^{2i}x\\[2pt]&=\sum _{i=0}^{\lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor }(-1)^{i}\cdot {n \choose 2i}\cos ^{n-2i}x\sin ^{2i}x\\&=\cos ^{n}x-{n \choose 2}\cos ^{n-2}x\sin ^{2}x+{n \choose 4}\cos ^{n-4}x\sin ^{4}x-{n \choose 6}\cos ^{n-6}x\sin ^{6}x+\dots \end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} nx=\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{n \choose 2i+1}\operatorname {tg} ^{2i+1}x\cdot (-1)^{i}\cdot \left(\sum _{i=0}^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{n \choose 2i}\operatorname {tg} ^{2i}x\cdot (-1)^{i}\right)^{-1}}$

Funkcje kąta połówkowego

Źródło^[6]:

${\displaystyle \left|\sin {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1-\cos x}{2}}}}$

${\displaystyle \left|\cos {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1+\cos x}{2}}}}$

${\displaystyle \left|\operatorname {tg} {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1-\cos x}{1+\cos x}}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {1}{2}}x={\frac {1-\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1+\cos x}}}$

${\displaystyle \left|\operatorname {ctg} {\frac {1}{2}}x\right|={\sqrt {\frac {1+\cos x}{1-\cos x}}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} {\frac {1}{2}}x={\frac {1+\cos x}{\sin x}}={\frac {\sin x}{1-\cos x}}}$

Suma i różnica funkcji

Dwóch funkcji trygonometrycznych

Źródła^[7][1][8]:

${\displaystyle \sin x\pm \sin y=2\sin {\frac {x\pm y}{2}}\cdot \cos {\frac {x\mp y}{2}}}$

${\displaystyle \cos x+\cos y=2\cos {\frac {x+y}{2}}\cdot \cos {\frac {x-y}{2}}}$

${\displaystyle \cos x-\cos y=-2\sin {\frac {x+y}{2}}\cdot \sin {\frac {x-y}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} x\pm \operatorname {tg} y={\frac {\sin(x\pm y)}{\cos x\cos y}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} x+\operatorname {ctg} y={\frac {\cos(x-y)}{\cos x\sin y}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} x\pm \operatorname {ctg} y={\frac {\sin(y\pm x)}{\sin x\sin y}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} x-\operatorname {tg} y={\frac {\cos(x+y)}{\sin x\cos y}}}$

Funkcji trygonometrycznej i jedynki

${\displaystyle 1-\cos x=2\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle 1+\cos x=2\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle 1-\sin x=2\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}x\right)=2\cos ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)=\left(\sin {\frac {x}{2}}-\cos {\frac {x}{2}}\right)^{2}}$

${\displaystyle 1+\sin x=2\cos ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi -{\frac {1}{2}}x\right)=2\sin ^{2}\left({\frac {1}{4}}\pi +{\frac {1}{2}}x\right)=\left(\sin {\frac {x}{2}}+\cos {\frac {x}{2}}\right)^{2}}$

Iloczyn w postaci sumy

Iloczyny dwóch funkcji

Źródła^[1][9]:

${\displaystyle \cos x\cdot \cos y={\frac {\cos(x-y)+\cos(x+y)}{2}}}$

${\displaystyle \sin x\cdot \sin y={\frac {\cos(x-y)-\cos(x+y)}{2}}}$

${\displaystyle \sin x\cdot \cos y={\frac {\sin(x-y)+\sin(x+y)}{2}}}$

Iloczyny trzech funkcji

${\displaystyle \sin x\cdot \sin y\cdot \sin z={\frac {\sin(x+y-z)+\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)-\sin(x+y+z)}{4}}}$

${\displaystyle \sin x\cdot \sin y\cdot \cos z={\frac {-\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)-\cos(x+y+z)}{4}}}$

${\displaystyle \sin x\cdot \cos y\cdot \cos z={\frac {\sin(x+y-z)-\sin(y+z-x)+\sin(z+x-y)+\sin(x+y+z)}{4}}}$

${\displaystyle \cos x\cdot \cos y\cdot \cos z={\frac {\cos(x+y-z)+\cos(y+z-x)+\cos(z+x-y)+\cos(x+y+z)}{4}}}$

Potęgi w postaci sumy

Źródło większości wzorów^[10]:

Kwadraty

${\displaystyle \sin ^{2}x={\frac {1-\cos 2x}{2}}}$

${\displaystyle \cos ^{2}x={\frac {1+\cos 2x}{2}}}$

${\displaystyle \sin ^{2}x-\sin ^{2}y=\sin(x+y)\cdot \sin(x-y)}$

${\displaystyle \sin ^{2}x\cos ^{2}x={\frac {1-\cos 4x}{8}}={\frac {\sin ^{2}2x}{4}}}$

Sześciany

${\displaystyle \sin ^{3}x={\frac {3\sin x-\sin 3x}{4}}}$

${\displaystyle \cos ^{3}x={\frac {3\cos x+\cos 3x}{4}}}$

Czwarte potęgi

${\displaystyle \sin ^{4}x={\frac {\cos 4x-4\cos 2x+3}{8}}}$

${\displaystyle \cos ^{4}x={\frac {\cos 4x+4\cos 2x+3}{8}}}$

Funkcje trygonometryczne wyrażone przy pomocy tangensa połowy kąta

${\displaystyle \sin x={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$

${\displaystyle \cos x={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}},}$

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}$

Powyższe tożsamości znalazły zastosowanie w tzw. podstawieniu uniwersalnym, stosowanym przy obliczaniu całek typu ${\displaystyle \int R(\sin x,\cos x,\operatorname {tg} x)dx,}$ gdzie ${\displaystyle R(u,v,w)}$ jest funkcją wymierną zmiennych ${\displaystyle u,v,w.}$ Stosuje się podstawienie:

${\displaystyle \operatorname {tg} {\frac {x}{2}}=t}$

${\displaystyle x=2\operatorname {arctg} \;t+2k\pi }$

${\displaystyle dx={\frac {2}{1+t^{2}}}dt.}$

Wzory Eulera

Osobny artykuł: Wzór Eulera.

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$

${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$

${\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{(e^{ix}+e^{-ix})i}}}$

${\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}}i}$

Wzory te pozwalają łatwo przekształcać wyrażenia trygonometryczne, poprzez przejście na postać zespoloną (cztery ostatnie wzory), uproszczenie i powrót na postać trygonometryczną (pierwszy wzór).

Inne zależności między funkcjami trygonometrycznymi

${\displaystyle \operatorname {tg} x+\sec x=\operatorname {tg} \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right).}$

Wzór de Moivre’a

${\displaystyle \cos nx+i\sin nx=(\cos x+i\sin x)^{n}\qquad n\in \mathbb {N} }$

lub ogólniej:

${\displaystyle [r(\cos x+i\sin x)]^{n}=r^{n}(\cos nx+i\sin nx)\qquad n\in \mathbb {N} }$