Macierz trójkątna

Macierz trójkątna – macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki pod główną przekątną lub wszystkie współczynniki nad tą przekątną są równe zero^[1]. W zależności od tego, który z wymienionych warunków jest spełniony, wyróżnia się macierze górnotrójkątne i dolnotrójkątne^[2]. Każda kwadratowa macierz schodkowa jest macierzą trójkątną^[3].

Macierzą górnotrójkątną nazywa się macierz postaci^[2][3]:

${\displaystyle \mathbf {U} ={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\0&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\0&0&\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ddots &u_{n-1,n}\\0&0&0&0&u_{n,n}\end{bmatrix}},}$

czyli taką, że ${\displaystyle u_{ij}=0}$ dla wszystkich ${\displaystyle i>j.}$

Macierzą dolnotrójkątną nazywa się macierz postaci^[2][3]:

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}l_{1,1}&0&0&0&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&0&0&0\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &0\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}},}$

czyli taką, że ${\displaystyle l_{ij}=0}$ dla wszystkich ${\displaystyle i<j.}$

Własności

Wyznacznik oraz permanent macierzy górnotrójkątnej są równe iloczynowi elementów leżących na głównej przekątnej^[4]:

${\displaystyle \det {A}=\operatorname {perm} {A}=a_{11}a_{2,2}\cdots a_{n,n}.}$

Suma oraz iloczyn macierzy górnotrójkątnych także jest macierzą górnotrójkątną^[5]. Co więcej, macierze górnotrójkątne tworzą podpierścień pierścienia macierzy^[6]. Analogiczną własność mają macierze dolnotrójkątne.

Zobacz też

• metoda LU
• macierz schodkowa