Definicja

Zobacz też: funkcja, iloczyn kartezjański i para uporządkowana.

Niech $m,n$ będą dodatnimi liczbami całkowitymi, zaś $\langle c\rangle$ oznacza zbiór liczb $\{1,\dots ,c\}$ kolejnych liczb całkowitych^{[uwaga 17]}, a $X$ będzie niepustym zbiorem. Macierzą nazywa się funkcję

\mathbf {A} \colon \langle m\rangle \times \langle n\rangle \to X,

gdzie $\langle m\rangle \times \langle n\rangle$ oznacza iloczyn kartezjański zbiorów $\langle m\rangle$ i $\langle n\rangle .$ Parę uporządkowaną $(m,n),$ oznaczaną zwykle symbolem $m\times n,$ nazywa się typem macierzy $\mathbf {A} ,$ jej argumenty (elementy dziedziny) – indeksami lub wskaźnikami, zaś wartości (elementy obrazu) – współczynnikami, elementami lub wyrazami; o macierzy $\mathbf {A}$ mówi się też wtedy, że jest określona nad zbiorem $X.$ Na podobieństwo ciągów, czy wektorów funkcję $\mathbf {A} (i,j)=a_{ij}$ oznacza się zwykle symbolicznie

\mathbf {A} =[a_{ij}],

gdzie element $a_{ij}$ i nazywa się wyrazem, współczynnikiem bądź elementem ogólnym macierzy; zwyczajowo pierwszą i drugą współrzędną wyrazu nazywa się odpowiednio jego wierszem i kolumną. Ustalenie pierwszej bądź drugiej współrzędnej funkcji $\mathbf {A}$ definiuje macierze odpowiednio typu $1\times n$ bądź $m\times 1$ nazywane wierszem bądź kolumną macierzy $\mathbf {A$ dokładniej: $i$ -tym wierszem, odpowiednio $j$ -tą kolumną, macierzy $\mathbf {A}$ nazywa się macierze dane wzorami $\mathbf {A} _{i}\colon \{i\}\times \langle n\rangle \to X,$ bądź odpowiednio $\mathbf {A} ^{j}\colon \langle m\rangle \times \{j\}\to X,$ przy czym nie ma ogólnie przyjętej notacji dotyczącej wierszy, czy kolumn danej macierzy^{[uwaga 18]} – macierze te nazywa się często wektorami wierszowymi bądź kolumnowymi, co wyjaśniono w osobnej sekcji.

Aby zaznaczyć typ macierzy często dodaje się go wyżej w pewnej formie za nawiasem, np. w indeksie dolnym: $[a_{ij}]_{m\times n}$ lub $[a_{ij}]_{\underset {j=1,\dots ,n}{i=1,\dots ,m}}.$ Zbiór wszystkich macierzy typu $m\times n$ nad zbiorem $X$ oznacza się symbolicznie $\mathrm {M} _{m\times n}(X),$ czy $\mathrm {Mat} _{m\times n}(X),$ opuszczając niekiedy typ macierzy lub zbiór jej współczynników, jeśli są znane z kontekstu lub $X^{m\times n},X^{m}{}_{n};$ w szczególności $X^{1}{}_{n}$ oraz $X^{m}{}_{1}$ utożsamia się z przestrzeniami współrzędnych $X_{n}$ oraz $X^{m}$ wektorów wierszowych i kolumnowych^[4]^[5] (w tej notacji łatwiej śledzić wymiar przestrzeni przy przekształceniach, jednak jest ona niezgodna z notacją potęgową iloczynu kartezjańskiego dla przestrzeni).

Klasy macierzy a wybór bazy

Osobne artykuły: baza przestrzeni liniowej, macierz przekształcenia liniowego i macierz formy dwuliniowej.

W zbiorze macierzy $\mathrm {Mat} _{m\times n}$ można wprowadzić wiele różnych relacji równoważności dzielących ten zbiór na rozłączne klasy:

równość, $\mathbf {A} =\mathbf {B} ,$ definiowana wzorem $a_{ij}=b_{ij}$ dla wszystkich $i,j;$
podobieństwo, $\mathbf {A} \sim \mathbf {B} ,$ mające miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje macierz odwracalna $\mathbf {P}$ spełniająca $\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {AP} =\mathbf {B$ ^[6]^[7]
przystawanie, kongruencja, sprzężenie, $\mathbf {A} \cong \mathbf {B} ,$ dane warunkiem istnienia takiej macierzy odwracalnej $\mathbf {P} ,$ dla której $\mathbf {P} ^{\mathrm {T} }\mathbf {AP} =\mathbf {B$
równoważność, $\mathbf {A} \simeq \mathbf {B}$ zachodząca wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją macierze odwracalne $\mathbf {P} ,\mathbf {Q} ,$ że $\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {AQ} =\mathbf {B$
równoważność względem operacji elementarnych na wierszach (odp. kolumnach) lub krótko: równoważność elementarna (zwykle dla operacji na wierszach), określona wymaganiem istnienia skończonej liczby operacji elementarnych na wierszach (odp. kolumnach), które przekształcałyby daną macierz w drugą

Na relację podobieństwo, czy przystawania można nakładać dodatkowe warunki, np. wymagać, by macierze $\mathbf {P}$ i $\mathbf {Q}$ były ortogonalne (podobieństwo/przystawanie ortogonalne, równoważność ortogonalna), czy unitarne (podobieństwo/przystawanie unitarne, równoważność unitarna). Podobieństwo macierzy pociąga ich równoważność. Dwie macierze są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy ich rzędy są równe. Macierze równoważne elementarnie zachowują zbiór rozwiązań układów równań liniowych (równoważność względem operacji na kolumnach zachowuje dualny do danego układ równań liniowych); dla macierzy nad dobrymi strukturami (np. ciałem, a nawet pierścieniem ideałów głównych) elementarna równoważność pokrywa się z równoważnością.

{\begin{matrix}V&{\xrightarrow {\quad \ \mathrm {T} \ \quad }}&W\\{\Bigg \updownarrow }&&{\Bigg \updownarrow }\\K^{n}&{\xrightarrow[{\mathrm {T} _{A}^{B}}]{\qquad \quad }}&K^{m}\end{matrix}}

Diagram przemienny przedstawienia przekształcenia liniowego: górna strzałka symbolizuje przekształcenie liniowe niezależnie od wyboru bazy, pionowe strzałki oznaczają izomorfizmy między przestrzeniami liniowymi a przestrzeniami współrzędnych, dolna strzałka oznacza przekształcenie liniowe przedstawione w bazach wyznaczonych przez wspomniane izomorfizmy^{[uwaga 19]}^{[uwaga 20]}.

W ogólności macierz może reprezentować przekształcenie liniowe między dowolnymi przestrzeniami liniowymi skończonego wymiaru z ustalonymi bazami, czyli poprzez wybranie w nich „układów współrzędnych”, tzn. wskazanie izomorfizmów dziedziny i przeciwdziedziny z odpowiednimi przestrzeniami współrzędnych. Otóż przekształcenie liniowe $\mathrm {T}$ przestrzeni liniowej $V$ wymiaru $n$ w przestrzeń liniową $W$ wymiaru $n$ z bazami odpowiednio $A=(\mathbf {a} _{j})_{j}$ oraz $B=(\mathbf {b} _{i})_{i}$ może być opisane dla każdego $j=1,\dots ,n$ wzorem

\mathrm {T} (\mathbf {a} _{j})=\sum _{i=1}^{m}t_{ij}\mathbf {b} _{i},

a więc poprzez zapisanie w macierzy $\mathbf {T} _{A}^{B}=[t_{ij}]$ kolumnowo obrazów wektorów bazy $A$ w bazie $B.$

Przynależność macierzy do ustalonej klasy oznacza, iż przedstawienia we współrzędnych (wyrażone za pomocą macierzy) danego rodzaju przekształceń są niezależne od wyboru bazy: macierze danego przekształcenia liniowego w różnych bazach mogą być różne, jednak zawsze są równoważne; podobnie ma się rzecz z endomorfizmami liniowymi przestrzeni liniowej z ustaloną bazą – macierze kwadratowe danego endomorfizmu są do siebie podobne; wreszcie wybór bazy dla przestrzeni liniowej w przypadku form dwuliniowych (często symetrycznych bądź hermitowskich form kwadratowych) umożliwia zapisanie ich w postaci macierzy kwadratowych (symetrycznych bądź hermitowskich), przy czym macierze tej samej formy są przystające (podobnie ma się rzecz z formami i macierzami antysymetrycznymi). Wyznacznik i wartości własne macierzy równoważnych są równe, zatem są one niezmiennikami przekształceń liniowych; twierdzenie Sylvestera o bezwładności form kwadratowych mówi, iż liczba oraz znaki wartości własnych macierzy przystających o rzeczywistych współczynnikach są równe, co oznacza, że są one niezmiennikami rzeczywistych form kwadratowych (symetrycznych form dwuliniowych). We wszystkich przypadkach macierze $\mathbf {P} ,\mathbf {Q}$ pełnią rolę macierzy zmiany bazy (tzw. „macierze przejścia” z jednej bazy do innej).

Rozkłady macierzy

Osobne artykuły: rozkład macierzy, diagonalizacja, metoda eliminacji Gaussa i algorytm Bareissa.

Wspomniana w sekcji Symetria i określoność diagonalizacja będąca przedstawieniem macierzy w postaci macierzy diagonalnej (podobnej do danej, zob. poprzednią sekcję) jest w istocie jedną z wielu innych metod rozkładów macierzy, czyli przekształcania macierzy do przystępniejszych postaci (nazywanych zbiorczo postaciami normalnymi bądź kanonicznymi); zasadniczą cechą tych rozkładów jest zachowywanie pewnych własności danych macierzy, np. wyznacznika, rzędu, czy odwrotności, które łatwo odczytać z uzyskanej postaci bądź możliwość algorytmicznego uproszczenia konkretnych operacji na macierzach określonego rodzaju.

Rozkład LU macierzy polega na przedstawieniu jej w postaci iloczynu macierzy trójkątnych: dolnej ( $\mathbf {L} ,$ od ang. lower) i górnej ( $\mathbf {U} ,$ od ang. upper). Wyznaczenie tego rozkładu znacząco upraszcza rozwiązywanie układów równań liniowych za pomocą tzw. podstawień w przód i wstecz; podobnie łatwo uzyskać z tej postaci odwrotność macierzy trójkątnych. Pokrewnym poprzedniemu algorytmem jest eliminacja Gaussa: przekształca daną macierz do postaci schodkowej. Obie metody można opisać za pomocą składania danej macierzy przez odpowiednie macierze elementarne odpowiadające permutacjom wierszy i dodawaniu wielokrotności danego wiersza do innego. Rozkład według wartości osobliwych wyraża dowolną macierz jako iloczyn $\mathbf {UDV} ^{\star }$ trzech macierzy: unitarnych $\mathbf {U} ,\mathbf {V}$ oraz diagonalnej $\mathbf {D} ,$ gdzie $\mathbf {V} ^{\star }$ oznacza macierz sprzężoną hermitowsko (w przypadku zespolonym; przestawioną w przypadku rzeczywistym) do $\mathbf {V} .$

Rozkład według wartości własnych bądź diagonalizacja to rozkład danej macierzy $\mathbf {A}$ na iloczyn $\mathbf {VDV} ^{-1}$ macierzy diagonalnej $\mathbf {D}$ i odwracalnej $\mathbf {V}$ (macierz, którą można przedstawić w tej postaci nazywa się diagonalizowalną). Ogólną metodą rozkładu, która jest możliwa do przeprowadzenia dla dowolnej macierzy, jest rozkład Jordana przekształcający daną macierz do postaci (normalnej) Jordana, tzn. macierzy, której jedynymi niezerowymi elementami są znajdujące się na głównej przekątnej wartości własne $\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}$ macierzy $\mathbf {A}$ oraz być może elementy jednostkowe znajdujące się na nadprzekątnej głównej (zob. rysunek obok). W rozkładzie według wartości własnych $n$ -tą potęgę macierzy $\mathbf {A}$ (tzn. $n$ -krotne mnożenie macierzy przez siebie) można obliczyć według wzoru:

\mathbf {A} ^{n}=\left(\mathbf {VDV} ^{-1}\right)^{n}=\mathbf {VDV} ^{-1}\ldots \mathbf {VDV} ^{-1}=\mathbf {V} \mathbf {D} ^{n}\mathbf {V} ^{-1},

a potęgę macierzy diagonalnej oblicza się, podnosząc do potęgi elementy z jej przekątnej głównej – jest to znacznie prostsza operacja niż potęgowanie macierzy $\mathbf {A}$ w postaci wyjściowej. Potęgowanie macierzy jest umożliwia zdefiniowanie eksponenty macierzy $\exp \mathbf {A} ,$ która podobnie do eksponenty rzeczywistej czy zespolonej znajduje wiele zastosowań: rozwiązywanie liniowych równań różniczkowych, obliczanie logarytmów macierzy, czy ich pierwiastków.

Współczynniki, algebra i grupy macierzy

Zobacz też: ciało, pierścień, pełna grupa liniowa, grupa Liego i algebra Liego.

Choć w definicji zbiór współczynników nie ma żadnej wyróżnionej struktury, to moc zastosowań metod macierzowych wynika z dodatkowej struktury algebraicznej określonej w tym zbiorze, która umożliwia zdefiniowanie podstawowych działań na macierzach, co skutkuje wprowadzeniem konkretnej struktury algebraicznej w zbiorze macierzy ustalonego typu, czy rodzaju. W artykule skupiono się na ciałach (którymi są np. zbiór liczb rzeczywistych, czy zespolonych), choć uprawianie algebry liniowej za pomocą teorii macierzy możliwe jest już w przypadku zastosowania pierścieni (np. zbioru liczb całkowitych).

Zbiór macierzy $\mathrm {Mat} _{m\times n}$ tworzy grupę ze względu na dodawanie macierzy z macierzą zerową ${\boldsymbol {\Theta }}$ złożoną z samych zer pełniącą rolę elementu neutralnego; jeśli dodawanie w zbiorze współczynników jest przemienne (z definicji w ciele lub pierścieniu przemiennym), to jest ona abelowa. Dołączenie mnożenia przez skalary czyni z grupy $\mathrm {Mat} _{m\times n}$ przestrzeń liniową (wymiaru $mn$ ) w przypadku, gdy zbiór skalarów ma strukturę ciała lub moduł (wolny rangi $mn$ ), jeśli skalary tworzą pierścień^{[uwaga 21]}. Mnożenie macierzy nad pierścieniem nieprzemiennym określa się analogicznie jak w przypadku ciał, jednak działanie to nie ma wówczas tak dobrych własności.

Zbiór macierzy kwadratowych stopnia $n$ tworzy nieprzemienny pierścień z jedynką ze względu na mnożenie nazywany pierścieniem macierzy; uwzględniając strukturę przestrzeni liniowej (modułu) macierze kwadratowe danego stopnia są nieprzemienną algebrą nad ciałem z jedynką (nieprzemienną algebrą nad pierścieniem). Macierze odwrotna i odwracalna są elementami odwrotnym i odwracalnym w algebrze macierzy kwadratowych; zbiór macierzy odwracalnych ustalonego stopnia tworzy ze względu na mnożenie macierzy ogólną lub pełną grupę liniową $\mathrm {GL} _{n}$ generowaną przez macierze elementarne. Grupami macierzowymi nazywa się właśnie podgrupy ogólnej grupy liniowej (z działaniem mnożenia); jest nią np. szczególna lub specjalna grupa liniowa $\mathrm {SL} _{n}$ składająca się z macierzy odwracalnych o wyznaczniku jednostkowym (podgrupa normalna generowana przez operację elementarną dodawania wiersza pomnożonego przez odwracalną liczbę do innego w przypadku ciał). Każda grupa skończona jest izomorficzna z grupą macierzową, można się o tym przekonać, rozpatrując reprezentację regularną grupy symetrycznej. Ogólne grupy można badać za pomocą dobrze znanych grup macierzy, które zostały dość dobrze poznane dzięki teorii reprezentacji.

Jeżeli pierścień współczynników macierzy kwadratowej jest przemienny, to możliwe jest zdefiniowanie jej wyznacznika^{[uwaga 22]}. Niezerowość wyznacznika dla macierzy określonych nad ciałami należy zamienić w przypadku pierścieni na warunek jego odwracalności. Ze wzorów Cramera (własności macierzy dołączonej) wynika, że macierz kwadratowa nad pierścieniem przemiennym jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.

Nad (przemienną) dziedziną ideałów głównych podmoduł modułu wolnego jest wolny, a jego ranga nie przekracza rangi całego modułu. W związku z tym owocne jest dla macierzy $\mathbf {A}$ typu $m\times n$ nad dziedziną ideałów głównych $R$ rozważanie podmodułów modułów $\mathrm {Mat} _{m\times 1}(R)$ oraz $\mathrm {Mat} _{1\times n}(R)$ generowanych odpowiednio przez kolumny i wiersze macierzy $\mathbf {A} .$ Podmoduły te mają równe rangi, a ich wspólną wartość nazywa się rzędem macierzy $\mathbf {A} .$ Rząd $\mathbf {A}$ jest równy największemu stopniowi jej niezerowego minora i jest równy rzędowi tej samej macierzy nad ciałem ułamków pierścienia $R;$ rząd macierzy nie przekracza liczby jej wierszy i kolumn.

Ponieważ macierze można traktować jak („długie”) wektory (najczęściej nad pewnym ciałem, takim jak np. liczby rzeczywiste, czy liczby zespolone), to w wielu przypadkach możliwe jest wprowadzenie przeróżnych struktur algebraicznych, czy topologicznych na różnego rodzaju przestrzeniach macierzy, co wynika stąd, iż zbiór macierzy ustalonego typu tworzy skończeniewymiarową przestrzeń liniową z działaniami na macierzach (traktowanych jak wektory, tzn. wprowadzonymi „po wskaźnikach”) – każda z tych przestrzeni ma identyczną strukturę z przestrzenią współrzędnych nad tym ciałem. Dla macierzy nad ciałami liczb rzeczywistych, czy zespolonych można przykładowo wprowadzić strukturę przestrzeni euklidesowej z jej naturalnymi strukturami, a nawet pójść krok dalej: wprowadzić strukturę algebry Liego, co w dalszym stopniu zwiększa liczbę zastosowań teorii macierzy.

Jeśli współczynniki należą do ciała liczb rzeczywistych lub zespolonych, to ogólna grupa liniowa ma strukturę grupy Liego (wymiaru równemu stopniowi macierzy w przypadku rzeczywistym i dwukrotnie większemu w przypadku zespolonym), tzn. mnożenie i odwracanie macierzy są ciągłe (w topologii euklidesowej macierzy traktowanych jako „długie” wektory^{[uwaga 23]}). Ponadto jest otwartą rozmaitością afiniczną w przestrzeni wszystkich macierzy ustalonego stopnia (jej niepustym podzbiorem otwartym w topologii Zariskiego), a nawet rozmaitością różniczkową (tego samego wymiaru). Algebra Liego ${\mathfrak {gl}}_{n}$ odpowiadająca tej grupie, tzn. struktura oddająca intuicję nieskończenie małych przekształceń tych grup (por. pochodna Liego), składa się ze wszystkich macierzy kwadratowych tego samego stopnia z komutatorem pełniącym rolę nawiasu Liego; algebra Liego ${\mathfrak {sl}}_{n}$ specjalnej grupy liniowej (będącą podrozmaitością ogólnej grupy liniowej) zawiera wszystkie macierze kwadratowe ustalonego stopnia o zerowym śladzie.

Macierze nieskończone i puste

Rozpatruje się również macierze o nieskończonej liczbie wierszy i/lub kolumn – formalnie wystarczy, iż dla dowolnych elementów indeksujących wiersze i kolumny istnieje dobrze określony element macierzy (zbiory indeksów nie muszą być nawet podzbiorami liczb naturalnych). Analogicznie jak w przypadku skończonym można zdefiniować dodawanie, odejmowanie, mnożenie przez skalar, czy przestawienie macierzy, choć mnożenie macierzy wymagać może określenia nieskończonego sumowania do zdefiniowania elementów iloczynu. Jeśli macierz nieskończona ma opisywać przekształcenie liniowe, to jej wszystkie kolumny muszą mieć skończoną liczbę niezerowych elementów. Wynika to stąd, iż dla macierzy $\mathbf {A}$ reprezentującej przekształcenie liniowe $\mathrm {A} \colon V\to W,$ z ustalonymi bazami dla przestrzeni liniowych, każdy wektor przestrzeni może być zapisany jednoznacznie jako (skończona) kombinacja liniowa wektorów bazowych, a więc jako macierz jednokolumnową („wektor kolumnowy”) $\mathbf {X} ,$ w której tylko skończenie wiele elementów jest różnych od zera. Wówczas kolumny $\mathbf {A}$ zawierają kolejne obrazy w przekształceniu $\mathrm {A}$ macierzy jednokolumnowych odpowiadających obrazom wektorów bazowych przestrzeni $V$ w bazie przestrzeni $W,$ co ma sens wyłącznie wtedy, gdy kolumny te mają skończenie wiele niezerowych elementów. Nie ma jednakże ograniczenia na liczbę wierszy macierzy $\mathbf {A} ,$ otóż w iloczynie $\mathbf {AX}$ pojawia się tylko skończenie wiele niezerowych współczynników macierzy jednokolumnowej $\mathbf {X} ,$ przez co każdy z elementów tego iloczynu, nawet jeśli jest dany jako nieskończona suma iloczynów, zawiera tylko skończenie wiele różnych od zera elementów, skąd wynika, iż jest on dobrze określony. Co więcej, oznacza to utworzenie kombinacji liniowej kolumn macierzy $\mathbf {A} ,$ która efektywnie zawiera wyłącznie skończenie wiele z nich, stąd ponieważ każda kolumna zawiera tylko skończenie wiele niezerowych elementów, to i wynik ma ich tyle. Iloczyn dwóch macierzy danego typu jest również dobrze określony (z zastrzeżeniem równości zbiorów indeksujących odpowiednio wiersze i kolumny tych macierzy), jest tego samego typu i odpowiada złożeniu przekształceń liniowych.

Macierze nieskończone wykorzystuje się do opisu operatorów na przestrzeni Hilberta, gdzie narzuca się dodatkowe ograniczenia ze względu na zbieżność odpowiednich sum oraz ciągłość przekształceń. Z ogólnego punktu widzenia macierze jednak zaciemniają ogląd – z tego powodu częściej korzysta się z abstrakcyjnych, potężniejszych metod analizy funkcjonalnej.

Macierz pusta to macierz, której liczba wierszy lub kolumn jest równa zeru. Ułatwiają one rozważania teoretyczne dotyczące zerowej przestrzeni liniowej, np. jeśli macierz $\mathbf {A}$ jest typu $3\times 0,$ a macierz $\mathbf {B}$ jest typu $0\times 3,$ to ich iloczyn $\mathbf {AB}$ jest macierzą zerową typu $3\times 3$ odpowiadającą przekształceniu zerowemu pewnej trójwymiarowej przestrzeni liniowej w siebie, podczas gdy iloczyn $\mathbf {BA}$ jest macierzą typu $0\times 0.$ Nie ma ustalonej notacji dotyczącej macierzy pustych, choć większość systemów algebry komputerowej umożliwia ich tworzenie i prowadzenie obliczeń z ich udziałem. Wyznacznik macierzy typu $0\times 0$ wynosi jeden, co wynika z obecności iloczynu pustego występującego we wzorze Leibniza na wyznacznik. Wartość ta jest zgodna z faktem służącym często charakteryzacji wyznacznika, iż przekształcenie tożsamościowe z dowolnej skończeniewymiarowej przestrzeni liniowej w siebie ma wyznacznik 1. Istnienie macierzy stopnia zerowego jest niezbędne w rozważaniach teoriokategoryjnych – macierze nad ustalonym ciałem tworzą kategorię addytywną, która musi zawierać obiekt zerowy, tu: macierze puste.

Tensory

Osobny artykuł: tensor.

Macierze wielowskaźnikowe to macierze z dowolną liczbą wskaźników indeksujących elementy takiej macierzy – macierze zerowskaźnikowe to opisane wyżej macierze puste, jednowskaźnikowe mogą być utożsamiane z wektorami lub ciągami, dwuwskaźnikowe to macierze opisane w tym artykule (również nieskończone), macierze trójwskaźnikowe można wyobrażać sobie jako uszeregowane w kratkach prostopadłościanu (być może nieskończonego). Formalnie macierz $r$ -wskaźnikowa o elementach ze zbioru $X$ to funkcja ${\boldsymbol {A}}\colon \langle n_{1}\rangle \times \ldots \times \langle n_{r}\rangle \to X.$

Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.