Odwzorowanie styczne

Odwzorowanie styczne – uogólnienie pochodnej funkcji wielu zmiennych na rozmaitości różniczkowe.

Jeżeli ${\displaystyle \varphi }$ jest funkcją z rozmaitości ${\displaystyle M}$ w rozmaitość ${\displaystyle N,}$ to odwzorowanie styczne funkcji ${\displaystyle \varphi }$ przeprowadza wektory z przestrzeni stycznej ${\displaystyle T_{x}M}$ rozmaitości ${\displaystyle M}$ w przestrzeń styczną ${\displaystyle T_{\varphi (x)}N}$ rozmaitości ${\displaystyle N.}$

Odwzorowanie styczne w punkcie

Niech ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N}$ będą rozmaitościami różniczkowymi klasy ${\displaystyle C^{k},}$ ${\displaystyle k\geqslant 1,}$ wymiaru odpowiednio ${\displaystyle m}$ i ${\displaystyle n.}$ Niech ${\displaystyle F\colon M\to N}$ będzie funkcją klasy ${\displaystyle C^{k}.}$

Odwzorowaniem styczym do ${\displaystyle F}$ w punkcie ${\displaystyle p\in M}$ nazywamy odwzorowanie między przestrzeniami stycznymi rozmaitości ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle d_{p}F\colon T_{p}(M)\to T_{F(p)}(N),}$ zdefiniowane wzorem:

${\displaystyle d_{p}F(\gamma '(0))=(F\circ \gamma )'(0)}$

gdzie ${\displaystyle \gamma '(0)}$ oznacza wektor styczny do krzywej ${\displaystyle \gamma }$ przechodzącej przez punkt ${\displaystyle p,}$ czyli klasę abstrakcji krzywej ${\displaystyle \gamma ,}$ względem relacji ${\displaystyle \sim }$ z definicji przestrzeni stycznej.

Komentarz

Odwzorowanie styczne w ustalonym punkcie jest odwzorowaniem liniowym i jest zwane różniczką funkcji ${\displaystyle F}$ w punkcie ${\displaystyle p.}$

Odwzorowanie styczne

Odwzorowaniem styczym do ${\displaystyle F}$ nazywamy odwzorowanie między wiązkami stycznymi rozmaitości ${\displaystyle M}$ i ${\displaystyle N,}$ ${\displaystyle TF\colon T(M)\to T(N),}$ zdefiniowane wzorem:

${\displaystyle TF(p,X)=(F(p),d_{p}F(X))}$

gdzie ${\displaystyle p\in M}$ oraz ${\displaystyle X\in T_{p}M.}$ Odzworowanie styczne jest funkcją klasy ${\displaystyle C^{k-1}.}$

Zobacz też

• odwzorowanie kostyczne

Bibliografia

• Wojciech Wojtyński, Grupy i algebry Liego, PWN, 1986.