Pierścień z jednoznacznością rozkładu

Pierścień z jednoznacznością rozkładu, pierścień Gaussa, UFD (ang. unique factorization domain^[1]) – pierścień przemienny, którego każdy element nieodwracalny może być przedstawiony jako iloczyn elementów pierwszych w jednoznaczny sposób, tzn. jednoznaczny co do permutacji czynników. Pierścienie te uogólniają pierścień liczb całkowitych w ten sposób, że spełniają one także tezę podstawowego twierdzenia arytmetyki.

Poniższy ciąg zawierań zbiorów obrazuje pewne szczególne przypadki pierścieni z jednoznacznością rozkładu:

pierścienie z jednoznacznością rozkładu ⊃ dziedziny ideałów głównych ⊃ pierścienie euklidesowe ⊃ ciała

Definicja

Dziedzina całkowitości ${\displaystyle R}$ nazywana jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu wtedy i tylko wtedy, gdy

• dla dowolnego niezerowego elementu nieodwracalnego ${\displaystyle a\in R}$ istnieją elementy nierozkładalne ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in R}$ takie, że ${\displaystyle a=a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}.}$
• jeżeli ${\displaystyle a_{1}\cdot a_{2}\cdot \ldots \cdot a_{n}=b_{1}\cdot b_{2}\cdot \ldots \cdot b_{m},}$ gdzie wszystkie elementy ${\displaystyle a_{i},b_{i}}$ są nierozkładalne, to ${\displaystyle m=n}$ i istnieje permutacja ${\displaystyle \pi }$ taka, że ${\displaystyle a_{i}\sim b_{\pi (i)},}$ to znaczy elementy te są stowarzyszone.

Własności

• Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, to istnieje w nim największy wspólny dzielnik.
• Twierdzenie Gaussa: Jeżeli ${\displaystyle R}$ jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu, pierścień wielomianów ${\displaystyle R[x]}$ również jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu.
• W pierścieniu z jednoznacznością rozkładu każdy element nierozkładalny jest pierwszy.