Liczby całkowite
zbiór obejmujący liczby naturalne z zerem i liczby przeciwne do nich; liczby rzeczywiste bez części ułamkowej Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
zbiór obejmujący liczby naturalne z zerem i liczby przeciwne do nich; liczby rzeczywiste bez części ułamkowej Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Liczby całkowite – zbiór obejmujący:
Jest to uogólnienie liczb naturalnych umożliwiające odjęcie każdej liczby od innej.
Zbiór liczb całkowitych oznacza się symbolem [1], od niemieckiego Zahl – liczba[potrzebny przypis]. W Polsce Ministerstwo Edukacji Narodowej zaleciło używanie tego oznaczenia[2], choć w większości szkół podstawowych i średnich stosowano symbol – inicjał nazwy polskiej[potrzebny przypis].
Uogólnieniem liczb całkowitych są liczby wymierne.
Zbiór liczb całkowitych można zdefiniować jako zbiór klas abstrakcji zbioru relacji równoważności
Intuicyjnie reprezentuje różnicę
Niech oznacza klasę abstrakcji, której reprezentantem jest Wówczas dodawanie i mnożenie w zbiorze definiuje się jako:
Liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi dodatnimi;
liczby dla których nazywamy liczbami całkowitymi ujemnymi.
Tak zdefiniowana struktura jest pierścieniem całkowitym, tj. pierścieniem przemiennym z jedynką bez dzielników zera[potrzebny przypis].
Zerem tego pierścienia jest elementem przeciwnym do jest element Jedynką jest
Podzbiór elementów postaci jest izomorficzny z
Ponieważ oraz elementem przeciwnym do więc
Ostatnia zależność potwierdza wyżej wspomnianą intuicję.
Zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych gdyż istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna przypisująca każdej liczbie całkowitej dokładnie jedną liczbę naturalną. Np.:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
![{\displaystyle [(a,b)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d4673f87e9f04b411addd9c344dceb4c2915dd1)
![{\displaystyle [(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)],}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/058c43d66521cefd6334f3211ac6a1773ee734de)
![{\displaystyle [(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13331cfcefba4254583e5a285f633d268d729383)
![{\displaystyle [(a,b)],}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/27f5f12be6056e07c608b64edfe7a3470abf66c6)
![{\displaystyle [(0,0)],}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7633294ee062ff29a5b2a28ba56e3661342ac120)
![{\displaystyle [(b,a)].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a816f0a1ca0c5d4a9b64062b1a8228bf785c4c9)
![{\displaystyle [(1,0)].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/638859650ed1cb59eb29a985f9e690429f55e557)
![{\displaystyle [(a,0)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1c4b77308159b2e6971cc2facdb5efce89ff80e)
![{\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]+[(0,b)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4e687e5d5fc14048449020360e28a69103da15c)
![{\displaystyle [(0,b)]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/713d35f9f6969343c7851ba305f2a171842a707b)
![{\displaystyle [(b,0)],}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d90b9311c32ddbc4924d587623d6a971d95c65ac)
![{\displaystyle [(a,b)]=[(a,0)]-[(b,0)].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/284ebb3e1587fa9cebb71fd2a93826a7174ecd0d)
