Prostokąt

Prostokąt – czworokąt, który ma wszystkie wewnętrzne kąty proste^[1] (stąd również jego nazwa). Jest to uogólnienie kwadratu – prostokąt nie musi mieć równych boków.

Przykład prostokąta – na czerwono zaznaczono jego kąty. Wszystkie są kątami prostymi

Dwa prostokąty, których część wspólna (intersekcja) też jest prostokątem

Istnieją też inne, równoważne definicje prostokąta, np. oparte na szerszych pojęciach jak równoległobok czy trapez prostokątny.

Podstawowe własności

Równość wszystkich czterech kątów – czyli bycie prostokątem – to gwarancja (warunek wystarczający) równości przekątnych: ${\displaystyle \sphericalangle ABC=\sphericalangle BCD=}$${\displaystyle \sphericalangle CDA=\sphericalangle DAB}$ ${\displaystyle \Rightarrow }$ ${\displaystyle |AC|=|BD|}$

• Przekątne prostokąta są równej długości^[1].
  • Twierdzenie odwrotne nie zachodzi. Inne czworokąty z równymi przekątnymi to np. trapezy równoramienne^[2].
• Przekątne prostokąta przecinają się w połowie^[1].
  • Twierdzenie odwrotne nie zachodzi. Inne czworokąty o tej własności przekątnych to np. romby^[3] i szerzej wszystkie równoległoboki^[4].
• Kąt między przekątnymi jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy prostokąt jest kwadratem.

Podstawowe wzory

Oznaczenia:

${\displaystyle a,b}$ – długości boków prostokąta;

${\displaystyle d}$ – długość przekątnej;

${\displaystyle \alpha }$ – mniejszy z kątów między przekątnymi;

${\displaystyle w_{p},}$ ${\displaystyle h_{p}}$ – szerokość i wysokość określone proporcjonalnie (np. 16, 9; 4, 3).

Długość przekątnej^[1]:

${\displaystyle d={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.}$

Obwód^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}L&=2(a+b)=\\&=2a+2b.\end{aligned}}}$

Pole powierzchni^[1]:

${\displaystyle {\begin{aligned}P&=ab=\\&={\frac {1}{2}}d^{2}\sin \alpha =\\&=d^{2}{\frac {w_{p}\cdot h_{p}}{w_{p}^{2}+h_{p}^{2}}}.\end{aligned}}}$

Symetrie

• Jeśli prostokąt nie jest kwadratem, to ma dokładnie dwie (2) osie symetrii^[5].
• Każdy prostokąt ma środek symetrii, bo jest równoległobokiem – to własność wszystkich takich figur^[5].
• Jeśli prostokąt nie jest kwadratem, to jego symetrie tworzą grupę czwórkową Kleina ${\displaystyle (V_{4}\cong C_{2}^{2})}$^[6]. Nie jest to jednak jedyny taki czworokąt – analogiczną^[a] grupę symetrii ma dowolny romb niebędący kwadratem^[7].

Uwagi

1. mówiąc ściśle: izomorficzną