Przestrzeń pseudometryczna

Przestrzeń pseudometryczna – zbiór, w którym wprowadzono uogólnioną funkcję odległości (pseudometrykę), od przestrzeni metrycznej odróżnia ją to, że odległość między różnymi punktami może być równa zero.

Przestrzenie pseudometryczne znajdują zastosowanie w analizie funkcjonalnej. Są one szczególnym przypadkiem przestrzeni hemimetrycznych.

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie dowolnym niepustym zbiorem z określoną na nim funkcją dwuargumentową ${\displaystyle d\colon X\times X\to \mathbb {R} ,}$ zwaną pseudometryką, spełniającą dla każdego ${\displaystyle x,y,z\in X}$ warunki:

1. zerowa odległość

   ${\displaystyle d(x,x)=0}$

2. symetria

   ${\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}$

3. nierówność trójkąta

   ${\displaystyle d(a,b)\leqslant d(a,c)+d(c,b)}$

Wówczas para uporządkowana ${\displaystyle (X,d)}$ nazywana jest przestrzenią pseudometryczną.

Uwagi:

(1) Z definicji wynika, że dla różnych punktów przestrzeni ${\displaystyle x\neq y}$ odległość ${\displaystyle d(x,y)}$ może być równa zero, co różni pseudometrykę od metryki, w której odległość między dwoma różnymi punktami zawsze jest dodatnia.

(2) Definicja metryki różni się pierwszym aksjomatem, pozostałe dwa są identyczne. Zamiast warunku ${\displaystyle d(x,x)=0}$ przyjmuje się aksjomat identyczności nierozróżnialnych ${\displaystyle d(a,b)=0\iff a=b,}$ z którego wynika dodatnia odległość między każdymi dwoma różnymi punktami.

Pseudometryka w przestrzeni funkcyjnej

W przestrzeni ${\displaystyle X_{x_{0}}^{\mathbb {R} }}$ funkcji ${\displaystyle f,g\colon X\to \mathbb {R} }$ z wyróżnionym punktem ${\displaystyle x_{0}\in X}$ można zdefiniować pseudometrykę wzorem:

${\displaystyle d(f,g)=|f(x_{0})-g(x_{0})|.}$

Np. niech ${\displaystyle X=\mathbb {R} ,x_{0}=0}$

oraz

${\displaystyle f\colon f(x)=\sin(x),}$ ${\displaystyle g\colon g(x)=x,}$

wtedy

${\displaystyle f(0)=\sin(0)=0,}$ ${\displaystyle g(0)=0}$

oraz

${\displaystyle d(f,g)=0}$

– funkcje są w zerowej od siebie odległości, mino że funkcje ${\displaystyle \sin x}$ oraz ${\displaystyle x}$ są różne.

Własności

W przestrzeniach liniowych pseudometryka generowana jest przez półnormę.

Topologia indukowana przez pseudometrykę generowana jest przez kule otwarte

${\displaystyle B_{r}(p)=\{x\in X\colon d(p,x)<r\},}$

które stanowią jej bazę. Mówimy, że przestrzeń topologiczna jest pseudometryzowalna, jeśli istnieje taka pseudometryka, że indukowana przez nią topologia pokrywa się z daną.

Zobacz też

• przestrzeń metryczna
• przestrzeń pseudounormowana
• przestrzeń unormowana

Przestrzeń z pseudometryką

• rozmaitość pseudoriemannowska

Linki zewnętrzne

• Pseudo-metric (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].