Równanie różniczkowe zwyczajne

Równanie różniczkowe zwyczajne – równanie, w którym występuje jedna zmienna niezależna ${\displaystyle t}$ oraz jedna lub więcej funkcji niewiadomych i ich pochodne^[1]. Równania różniczkowe, w których występuje więcej zmiennych niezależnych, nie są zwyczajne, ale cząstkowe.

Wśród równań różniczkowych zwyczajnych równania różniczkowe liniowe odgrywają szczególną rolę – taką postać ma większość równań fizyki i matematyki stosowanej. Ponadto równania nieliniowe są trudniejsze do rozwiązania, dlatego często rozwiązuje się je w sposób przybliżony, za pomocą równań liniowych (por. linearyzacja równań).

Uznaje się, że Lectiones mathematicae de methodo integralium Johanna Bernoulliego były pierwszym podręcznikiem na temat równań różniczkowych zwyczajnych^[2].

Oznaczenia

Niech ${\displaystyle t}$ oznacza zmienną niezależną, ${\displaystyle x=x(t)}$ zmienną zależną. Stosuje się różne oznaczenia na pochodne zmiennej zależnej ${\displaystyle x=x(t)}$ względem zmiennej ${\displaystyle t}$

• ${\displaystyle {\frac {dx}{dt}},{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}},\dots ,{\frac {d^{n}x}{dt^{n}}}}$
• ${\displaystyle x',x'',\dots ,x^{(n)}}$
• ${\displaystyle {\dot {x}},{\ddot {x}},{\overset {\dots }{x}}.}$

W praktyce (jak wyżej) zazwyczaj pomija się zapisywanie argumentu przy funkcji ${\displaystyle x}$ i jej pochodnych, tzn. zamiast ${\displaystyle x(t),\dots ,x^{(n)}(t)}$ pisze się ${\displaystyle x,x'\dots ,x^{(n)}.}$

Równania różniczkowe zwyczajne

Def. równania różniczkowego zwyczajnego w postaci jawnej Jeżeli ${\displaystyle F}$ jest funkcją zmiennej ${\displaystyle t,}$ zmiennej ${\displaystyle x}$ oraz pochodnych zmiennej ${\displaystyle x,}$ to równanie postaci

${\displaystyle F\left(t,x,x',\dots ,x^{(n-1)}\right)=x^{(n)}}$

nazywa się jawnym równaniem różniczkowym rzędu ${\displaystyle n.}$

Def. równania różniczkowego zwyczajnego w postaci niejawnej

Niejawnym równaniem różniczkowym rzędu ${\displaystyle n}$ nazywa się równanie postaci

${\displaystyle F\left(t,x,x',x'',\dots ,x^{(n)}\right)=0.}$

Równanie różniczkowe zwyczajne liniowe rzędu n

Definicja

Def. Równanie różniczkowe zwyczajne nazywamy równaniem liniowym rzędu n zmiennej zależnej ${\displaystyle x(t)}$, gdy funkcję ${\displaystyle F}$ można zapisać w postaci kombinacji liniowej funkcji ${\displaystyle x}$ i jej pochodnych:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}\,x^{(i)}+a_{0}\,x=b,}$

gdzie:

• ${\displaystyle x^{(i)}}$ – pochodne rzędu ${\displaystyle i=0,1,\dots ,n}$ zmiennej zależnej ${\displaystyle x(t)}$ względem zmiennej ${\displaystyle t,}$
• ${\displaystyle a_{i}\equiv a_{i}(t),i=0,1,\dots ,n}$ oraz ${\displaystyle b\equiv b(t)}$ – różniczkowalne funkcje zmiennej ${\displaystyle t,}$ niekoniecznie liniowe.

Innymi słowy: równanie jest liniowe, gdy zmienna zależna i jej pochodne występują tylko w 1-szej potędze i nie ma wyrazów zawierających funkcje zmiennej ${\displaystyle x}$ czy funkcje jej pochodnych, np. ${\displaystyle \sin x(t),\exp(x^{3}),\ln(x'')}$ itd.

Przy tym mamy dwa istotne przypadki:

• ${\displaystyle b(t)=0}$ – wtedy równanie nazywa się jednorodnym,
• ${\displaystyle b(t)\neq 0}$ – wtedy równanie nazywa się niejednorodnym.

Przykłady

(1) Równanie liniowe niejednorodne rzędu ${\displaystyle n=1}$

${\displaystyle x'-at=v}$

np. równanie ruchu ciała ze stałym przyspieszeniem

(2) Równania liniowe jednorodne rzędu ${\displaystyle n=2}$

(a) ${\displaystyle m\,x''+k\,x=0}$

(b) ${\displaystyle m\,x''+b\,x'+k\,x=0}$

np. równaniami (a) i (b) opisuje się ruch harmoniczny: (a) swobodny (b) z tłumieniem.

Równanie różniczkowe zwyczajne nieliniowe rzędu n

Definicja

Def. Równanie różniczkowe zwyczajne nieliniowe rzędu ${\displaystyle n}$ jest to równanie różniczkowe liniowe rzędu ${\displaystyle n}$, które nie jest liniowe.

Przykłady

(1) ${\displaystyle x''+{\frac {g}{\ell }}\sin x(t)=0}$

– równanie różniczkowe zwyczajne, nieliniowe; równanie to opisuje drganie oscylatora anharmonicznego (np. wahadła matematycznego); aby równanie to było liniowe, zmienna zależna powinna być w pierwszej potędze, nie w postaci funkcji ${\displaystyle \sin x;}$ dla małych drgań można dokonać przybliżenia ${\displaystyle \sin x=x,}$ dzięki czemu równanie upraszcza się do postaci liniowej

(2) ${\displaystyle x'=3x^{2}-2t^{3}+4}$

(3) ${\displaystyle x''=x'+(2+e^{t})\,x+(1+t)\,x^{2}}$

(4) ${\displaystyle (x')^{2}=8t\,x'+5t\,x^{3}-t}$

– równania (2)–(4) są nieliniowe, bo zmienna zależna nie jest w pierwszej potędze, ale w drugiej lub trzeciej; dodatkowo w równaniu (4) pochodna ${\displaystyle x'}$ jest w drugiej potędze.

Układ równań różniczkowych zwyczajnych (ODE)

Def. Jeżeli mamy powiązanych ze sobą ${\displaystyle m}$ równań różniczkowych zwyczajnych, to tworzą one układ (ang. ordinary differential equations – ODE). Niech ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ oznacza wektor, którego elementami są funkcje

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{m}(t)],}$

zaś ${\displaystyle F}$ – funkcja, której wartościami są funkcje wektora ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ i jego pochodnych, to

${\displaystyle \mathbf {x} ^{(n)}=\mathbf {F} {\big (}t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}{\big )}}$

jest jawną postacią układu równań różniczkowych zwyczajnych wymiaru ${\displaystyle m;}$ w postaci macierzowej mamy

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x_{1}^{(n)}\\x_{2}^{(n)}\\\vdots \\x_{m}^{(n)}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f_{1}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\\f_{2}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\\\vdots \\f_{m}\left(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n-1)}\right)\end{pmatrix}}}$

Funkcje te niekoniecznie są liniowe.

Def. W postaci niejawnej mamy

${\displaystyle \mathbf {F} {\big (}t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)}{\big )}={\boldsymbol {0}},}$

gdzie ${\displaystyle \mathbf {0} =(0,0,\dots ,0)}$ – wektor zerowy. W postaci macierzowej mamy

${\displaystyle {\begin{pmatrix}f_{1}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\\f_{2}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\\\vdots \\f_{m}(t,\mathbf {x} ,\mathbf {x} ',\mathbf {x} '',\dots ,\mathbf {x} ^{(n)})\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots \\0\end{pmatrix}}}$

Całkowanie równań różniczkowych. Całki

Proces znajdowania rozwiązań równań różniczkowych nazywa się całkowaniem.

Całką nazywa się jedno równanie ${\displaystyle x(t)}$ lub zespół równań ${\displaystyle x_{1}(t),x_{2}(t),\dots ,x_{m}(t)}$ wiążących funkcje niewiadome ze zmienną niezależną ${\displaystyle t.}$ Po podstawieniu funkcji niewiadomych i ich pochodnych do danego równania różniczkowego jest ono tożsamościowo spełnione.

Uwaga: Nie należy tego pojęcia mylić z pojęciem całki, rozumianej jako pole powierzchni pod krzywą.

Przykłady

Równanie wektorowe drugiej zasady dynamiki

Tor kuli wystrzelonej z armaty jest opisany krzywą będącą rozwiązaniem układu dwóch równań różniczkowych zwyczajnych, zadających współrzędne ciała na płaszczyźnie ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t)].}$

Równanie opisujące drugą zasadę dynamiki Newtona w przypadku ruchu ciała o stałej masie ${\displaystyle m}$ w przestrzeni 3-wymiarowej w polu wektora siły ${\displaystyle \mathbf {F} (t)=[F_{1}(t),F_{2}(t),F_{3}(t)]}$ zmiennej w czasie ma postać:

${\displaystyle {\frac {d^{2}\mathbf {x} }{dt^{2}}}={\frac {\mathbf {F} }{m}},}$

gdzie:

• ${\displaystyle \mathbf {x} (t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)]}$ – wektor, określający położenia ciała w zależności od czasu ${\displaystyle t.}$

Jest to więc układ 3 równań różniczkowych liniowych rzędu ${\displaystyle n=2}$ trzech zmiennych ${\displaystyle x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),}$ które są współrzędnymi ciała w przestrzeni.

Układ Lorentza

Układ Lorentza – to układ trzech nieliniowych równań różniczkowych zwyczajnych

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=\sigma y-\sigma x\\{\dot {y}}=-xz+rx-y\\{\dot {z}}=xy-bz\end{cases}},}$

gdzie: ${\displaystyle \sigma ,}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle b}$ – stałe parametry; tutaj oznaczono: ${\displaystyle x_{1}\equiv x(t),x_{2}\equiv y(t),x_{3}\equiv z(t);}$ ${\displaystyle t}$ ma sens czasu.

Układ ten modeluje zjawisko konwekcji termicznej w atmosferze; badanie tego układu doprowadziło do odkrycia zjawiska chaosu deterministycznego.

Oprogramowanie do rozwiązywania ODE

Bezpłatne:

• GNU Octave, oprogramowanie przeznaczone do obliczeń numerycznych, odpowiednik środowiska MATLAB.
• GNU R, środowisko obliczeniowe zawiera pakiet do rozwiązywania ODE.
• Julia (język programowania), język wysokiego poziomu, elastyczny, do szeregu obliczeń numerycznych, o rosnącej liczbie użytkowników.
• Maxima, system algebry komputerowej.
• SageMath^[3], środowisko obliczeniowe używa składni podobnej do języka Python, umożliwiająca obliczenia w zakresie wielu gałęzi matematyki.
• Scilab, aplikacje do obliczeń numerycznych.
• Chebfun, pakiet oprogramowania napisany w MATLAB, do obliczeń z dokładnością do 15 cyfr znaczących.
• COPASI, pakiet oprogramowania do całkowania i analizy ODE.
• SciPy, pakiet języka Python, zawierający moduł całkowania ODE.
• SymPy, pakiet języka Python, który może rozwiązywać ODE symbolicznie.

Płatne:

• Mathematica, aplikacja początkowo przeznaczona do obliczeń symbolicznych.
• Maple, aplikacja do obliczeń symbolicznych.
• MATLAB, aplikacje obliczeniowe (skrót od słów MATrix LABoratory).

Zobacz też

• równanie różniczkowe cząstkowe
• algorytm Rungego-Kutty – numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych