Relacja trychotomiczna

Relacja trychotomiczna – antysymetryczna, spójna i przeciwzwrotna relacja binarna. Jej przykładem jest porządek liczb rzeczywistych^[1].

Definicja

Niech ${\displaystyle X}$ będzie zbiorem. Relację ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq X\times X}$ nazywamy relacją trychotomiczną wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona:

• antysymetryczna:

${\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal {R}}\,y\wedge y\,{\mathcal {R}}\,x)\Rightarrow x=y,}$

• spójna:

${\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;x\,{\mathcal {R}}\,y\vee y\,{\mathcal {R}}\,x\vee x=y,}$

• przeciwzwrotna:

${\displaystyle \forall \;x\in X:\;\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,x.}$

Równoważnie, relacja ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy:

${\displaystyle \forall \;x,\,y\in X:\;(x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;\lnot \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;\lnot \;x=y)\;\vee \;(\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;\lnot \;x=y)\;\vee \;(\lnot \;x\,{\mathcal {R}}\,y\;\wedge \;\lnot \;y\,{\mathcal {R}}\,x\;\wedge \;x=y).}$

Relacja ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest trychotomiczna wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ${\displaystyle x,\,y\in X}$ zachodzi dokładnie jeden z warunków: ${\displaystyle x\,{\mathcal {R}}\,y}$ albo ${\displaystyle y\,{\mathcal {R}}\,x}$ albo ${\displaystyle x=y.}$

Przykłady

• Relację ostrego porządku definiuje się jako relację przechodnią, przeciwzwrotną i spójną (w myśl powyższej definicji spójności, która nie implikuje zwrotności). Przechodniość i przeciwzwrotność implikują antysymetryczność, stąd relację ostrego porządku można równoważnie zdefiniować jako relację przechodnią i trychotomiczną^[2].

Zobacz też

• porządek liniowy