Relacja spójna

Relacja spójna, relacja liniowa^{[potrzebny przypis]} – typ relacji dwuargumentowej na jednym zbiorze definiowany dwojako – w sensie szerokim i wąskim; oba z nich dotyczą wiązania każdej pary elementów zbioru. Formalnie:

• relacja ${\displaystyle \varrho \subset X\times X}$ jest spójna, jeśli zachodzi alternatywa^[1][2]:

${\displaystyle \forall x,y\in X:\ (x,y)\in \varrho \,\lor \,(y,x)\in \varrho \,\lor x=y.}$

Oznacza to, że dla każdych dwóch różnych elementów ${\displaystyle x,y\in X}$ zachodzi ${\displaystyle x\varrho y}$ lub ${\displaystyle y\varrho x.}$ Inny zapis^[3]:

${\displaystyle x\neq y\Rightarrow x\varrho y\lor y\varrho x.}$

• Niektóre źródła podają definicję mocniejszą (węższą)^[4][5]:

${\displaystyle \forall x,y\in X:(x,y)\in \varrho \,\lor \,(y,x)\in \varrho .}$

Pociąga ona za sobą zwrotność.

Przez spójność definiuje się porządek liniowy.

Przykłady

Relacje spójne w sensie szerokim

• Każda relacja pełna.

• Relacja pusta na zbiorze pustym^{[potrzebny przypis]}.

• Relacja ${\displaystyle \leqslant }$ na zbiorze liczb naturalnych. Jeśli weźmie się dowolne dwie liczby naturalne, to zawsze jedna z nich jest niewiększa od drugiej. Relacja ta spełnia też węższą definicję.

• Relacja ${\displaystyle <}$ na zbiorze liczb naturalnych spełnia tylko szerszą definicję.

Relacje niespójne

• Relacja pusta na zbiorze niepustym^{[potrzebny przypis]}.

• Podzielność na zbiorze liczb naturalnych dodatnich. Na przykład żadna para różnych liczb pierwszych nie spełnia takiej relacji.