Rozkład według wartości osobliwych

Rozkład według wartości osobliwych (rozkład według wartości szczególnych, dekompozycja głównych składowych, dekompozycja na wartości singularne, dekompozycja SVD, rozkład SVD, algorytm SVD (SVD – z ang. Singular Value Decomposition)) – pewien rozkład macierzy (dekompozycja) na iloczyn trzech specyficznych macierzy.

Jest to metoda matematyczna służąca do redukcji wymiaru macierzy. Posiada wiele zastosowań, np. w analizie statystycznej, przy przetwarzaniu obrazów i sygnałów, w robotyce i automatyce.

Teza

Każdą macierz rzeczywistą ${\displaystyle A}$ można przedstawić w postaci rozkładu SVD:

${\displaystyle A=U\Sigma V^{T},}$

gdzie:

• ${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle V}$ – macierze ortogonalne (czyli ${\displaystyle U^{-1}=U^{T},}$ ${\displaystyle V^{-1}=V^{T}}$),
• ${\displaystyle \Sigma }$ – macierz diagonalna (przekątniowa), taka że ${\displaystyle \Sigma =\operatorname {diag} (\sigma _{i}),}$ gdzie ${\displaystyle \sigma _{i}}$ – nieujemne wartości szczególne (osobliwe) macierzy ${\displaystyle A,}$ zwyczajowo uporządkowane nierosnąco.

Własności

Jeżeli macierz ${\displaystyle A}$ jest macierzą nieosobliwą, to można tak dobrać macierze ${\displaystyle U}$ oraz ${\displaystyle V,}$ żeby jej wszystkie wartości szczególne (osobliwe) były dodatnie. Jeżeli którakolwiek wartość szczególna macierzy jest równa 0, to macierz ta jest macierzą osobliwą.

Wartość bezwzględna wyznacznika kwadratowej macierzy ${\displaystyle A}$ jest iloczynem jej wszystkich wartości szczególnych (osobliwych):

${\displaystyle |\det(A)|=\sigma _{1}\sigma _{2}\ldots \sigma _{n}.}$

Przykład

Rozważmy macierz: ${\displaystyle 4\times 5{:}}$

${\displaystyle \mathbf {M} ={\begin{bmatrix}1&0&0&0&2\\0&0&3&0&0\\0&0&0&0&0\\0&4&0&0&0\end{bmatrix}}}$

Rozkład według wartości osobliwych tej macierzy jest następujący:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} &={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\\[1ex]{\boldsymbol {\Sigma }}&={\begin{bmatrix}4&0&0&0&0\\0&3&0&0&0\\0&0&{\sqrt {5}}&0&0\\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}\\[1ex]\mathbf {V} ^{T}&={\begin{bmatrix}0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\{\sqrt {0{,}2}}&0&0&0&{\sqrt {0{,}8}}\\0&0&0&1&0\\-{\sqrt {0{,}8}}&0&0&0&{\sqrt {0{,}2}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Przy czym wartości na przekątnej macierzy ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}}$ to pierwiastki wartości własnych macierzy: ${\displaystyle \mathbf {M} \mathbf {M} ^{T},}$ oraz istotnie:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} \mathbf {U} ^{T}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

tudzież:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} \mathbf {V} ^{T}&={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$

Zobacz też

• metody numeryczne
• analiza głównych składowych (PCA)
• rozkład macierzy