Rozkład macierzy

Do wielu zastosowań (zarówno numerycznych, jak i teoretycznych) warto przedstawić daną macierz w postaci iloczynu kilku macierzy o określonych własnościach. Niektóre z poniższych rozkładów uogólniają się na operatory liniowe.

Diagonalizacja

Osobny artykuł: Diagonalizacja.

Diagonalizacja to przedstawienie macierzy ${\displaystyle A}$ w postaci diagonalnej, czyli

${\displaystyle A=PDP^{-1},}$

gdzie:

${\displaystyle D}$ – macierz diagonalna składająca się z wartości własnych,

${\displaystyle P}$ – macierz odwracalna składająca się z wektorów własnych odpowiadających kolejnym wartościom własnym.

Diagonalizacja działa tylko dla niektórych macierzy kwadratowych (np. symetrycznych i hermitowskich).

Macierz, którą można zdiagonalizować nazywamy macierzą diagonalizowalną.

Rozkład Jordana

Osobny artykuł: Postać Jordana.

Rozkład Jordana to przedstawienie macierzy ${\displaystyle A}$ w postaci Jordana, czyli

${\displaystyle A=PDP^{-1},}$

gdzie:

${\displaystyle D}$ – macierz składająca się z klatek Jordana odpowiadającym kolejnym wartościom własnym,

${\displaystyle P}$ – macierz odwracalna; zawiera jeden wektor własny dla każdej klatki Jordana.

Jeśli macierz ${\displaystyle A}$ jest diagonalizowalna, to jej postać Jordana jest równa postaci diagonalnej.

Rozkład wartości osobliwych

Osobny artykuł: Rozkład wartości osobliwych.

Rozkład wartości osobliwych (nad ${\displaystyle \mathbb {R} }$) to przedstawienie macierzy ${\displaystyle A}$ w postaci

${\displaystyle A=U\Sigma V^{T},}$

gdzie:

${\displaystyle \Sigma }$ – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,

${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle V}$ – macierze ortogonalne.

Rozkład wartości osobliwych macierzy symetrycznej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Jeśli mamy do czynienia z macierzą nad ciałem liczb zespolonych ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ to

${\displaystyle A=U\Sigma V^{*},}$

gdzie:

${\displaystyle \Sigma }$ – macierz diagonalna zawierająca kolejne wartości osobliwe,

${\displaystyle U}$ i ${\displaystyle V}$ – macierze unitarne.

Zaś rozkład wartości osobliwych macierzy hermitowskiej pokrywa się z rozkładem diagonalnym.

Rozkład LU

Osobny artykuł: Metoda LU.

Rozkład LU to przedstawienie macierzy ${\displaystyle A}$ w postaci

${\displaystyle A=LU,}$

gdzie:

${\displaystyle L}$ – dolna macierz trójkątna,

${\displaystyle U}$ – górna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego

Osobny artykuł: Rozkład Choleskiego.

Rozkład Choleskiego (nad ${\displaystyle \mathbb {R} }$) to przedstawienie dodatniej macierzy symetrycznej ${\displaystyle A}$ w postaci

${\displaystyle A=LL^{T},}$

gdzie:

${\displaystyle L}$ – dolna macierz trójkątna.

Rozkład Choleskiego (nad ${\displaystyle \mathbb {C} }$) to przedstawienie dodatniej macierzy hermitowskiej ${\displaystyle A}$ w postaci

${\displaystyle A=LL^{*},}$

gdzie:

${\displaystyle L}$ – dolna macierz trójkątna.

Rozkład biegunowy

Osobny artykuł: Rozkład biegunowy operatora.

Rozkład biegunowy to przedstawienie macierzy ${\displaystyle A}$ w postaci

${\displaystyle A=UR,}$

gdzie:

${\displaystyle U}$ – częściowa izometria,

${\displaystyle R}$ – macierz dodatnio określona.

Zobacz też

• macierz transponowana
• sprzężenie hermitowskie