Statystyka Bosego-Einsteina

Statystyka Bosego-Einsteina to gałąź statystyki kwantowej, która opisuje układy mikrocząstek o spinach całkowitych (0, 1, 2, ...), nazywane bozonami. Jest to statystyka stosowana do opisu gazu bozonowego, czyli cząstek o spinie całkowitym, które nie podlegają zakazowi Pauliego. W każdym stanie kwantowym układu podlegającego statystyce Bosego–Einsteina może znajdować się dowolna liczba cząstek opisanych tymi samymi zespołami liczb kwantowych. Zgodnie z rozkładem Bosego-Einsteina średnia liczba cząstek w danym stanie kwantowym wynosi^[1]:

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {n}{Z}}{\frac {g_{i}}{\mathrm {e} ^{\beta (E_{i}-\mu )}-1}},}$

Porównanie statystyk kwantowych

gdzie:

${\displaystyle n_{i}}$ – średnia liczba cząstek w ${\displaystyle i}$-tym stanie,

${\displaystyle E_{i}}$ – energia ${\displaystyle i}$-tego stanu,

${\displaystyle g_{i}}$ – degeneracja ${\displaystyle i}$-tego stanu,

${\displaystyle n}$ – całkowita liczba cząstek,

${\displaystyle \mu }$ – potencjał chemiczny,

${\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}},}$ gdzie ${\displaystyle k_{\mathrm {B} }}$ jest stałą Boltzmanna,

${\displaystyle T}$ – temperatura bezwzględna,

${\displaystyle Z=\sum _{i}{\frac {g_{i}}{\mathrm {e} ^{\beta (E_{i}-\mu )}-1}}}$ suma statystyczna.

Potencjał chemiczny w tym rozkładzie jest zawsze ujemny lub równy zeru.

Gdy temperatura jest wysoka, można zaniedbać składnik –1 i rozkład przechodzi w rozkład fizyki klasycznej, klasyczny rozkład Boltzmanna

${\displaystyle \langle n_{i}\rangle ={\frac {n}{Z}}g_{i}\mathrm {e} ^{-\beta (E_{i}-\mu )}}$

Charakterystycznym zjawiskiem dla cząstek podlegających statystyce Bosego-Einsteina jest agregacja wielu cząstek w tym samym stanie, co tłumaczy takie zjawiska, jak spójne promieniowanie laserowe czy bezstratne przepływanie helu w stanie nadciekłym^[2]. Teoria opisująca to zachowanie została opracowana w latach 1924–1925 przez Satyendrę Natha Bosego, który zauważył, że zbiór identycznych i nierozróżnialnych cząstek może być w ten sposób rozdzielony. Pomysł ten został później przyjęty i rozwinięty przez Alberta Einsteina we współpracy z Bosem^[3].

Rozkładowi Bosego-Einsteina podlegają fotony (o spinie 1) – nosi on wtedy nazwę rozkładu Plancka^[4], który tłumaczy promieniowanie ciała doskonale czarnego. Jego wprowadzenie przez Plancka zapoczątkowało mechanikę kwantową.

Zakaz Pauliego nie dotyczy bozonów, umożliwia to ich kondensację.

Zobacz też

• bozony
• fermiony
• kondensat Bosego-Einsteina
• statystyka Fermiego-Diraca