Szereg Laurenta

Szereg Laurenta funkcji zespolonej ${\displaystyle f(z)}$ to reprezentacja tej funkcji w postaci szeregu potęgowego, w którym występują również składniki o wykładniku ujemnym. Rozwinięcia tego używa się, gdy funkcji nie można rozwinąć w szereg Taylora. Nazwa szeregu pochodzi od nazwiska Pierre Alphonse Laurenta, który opublikował go w 1843 roku.

Obszar zbieżności szeregu Laurenta

piłka 50π

Definicje

Jeżeli funkcję ${\displaystyle f(z)}$ możemy zapisać jako sumę funkcji ${\displaystyle \phi (z)}$ oraz ${\displaystyle \psi (z),}$ takich że można je rozwinąć^[1] w zbieżne szeregi na pewnym obszarze D:

${\displaystyle \phi (z)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}}$ (część regularna)

${\displaystyle \psi (z)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{-n}(z-c)^{-n}}$ (część osobliwa)

gdzie c - dowolnie wybrana, stała liczba zespolona, zwana środkiem szeregu, to funkcję ${\displaystyle f(z)}$ przedstawiamy w postaci^[1][2]:

${\displaystyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-c)^{n}.}$

Reprezentację taką nazywamy szeregiem Laurenta funkcji ${\displaystyle f(z)=\phi (z)+\psi (z).}$ Część regularna jest zbieżna w kole ${\displaystyle |z-c|<R,}$ a część osobliwa na zewnątrz koła ${\displaystyle |z-c|\leqslant r}$ gdzie

${\displaystyle {\frac {1}{R}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{n}|^{\frac {1}{n}},}$

${\displaystyle r=\limsup _{n\rightarrow \infty }|a_{-n}|^{\frac {1}{n}}.}$

Szereg Laurenta jest zbieżny w pierścieniu ${\displaystyle r<|z-c|<R.}$

Rozwijanie funkcji w&nbsp;szereg Laurenta

Twierdzenie

Jeśli funkcja ${\displaystyle f(z)}$ jest analityczna w tym pierścieniu, to daje się przedstawić w postaci szeregu Laurenta a współczynniki ${\displaystyle a_{n}}$ wyrażają się, za pomocą całki krzywoliniowej wzorem^[1]:

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{\gamma }{\frac {f(z)\,dz}{(z-c)^{n+1}}}.}$

gdzie ${\displaystyle \gamma }$ jest dowolną krzywą zamkniętą położoną w obszarze zbieżności i zorientowaną dodatnio względem swego wnętrza (obiegającą punkt ${\displaystyle c}$ jednokrotnie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara).

Przykład

${\displaystyle f(z)=z^{2}e^{\frac {1}{z}},\;c=0}$

Korzystamy z rozwinięcia w szereg funkcji eksponencjalnej:

${\displaystyle e^{w}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {w^{n}}{n!}},\;w\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle z^{2}e^{\frac {1}{z}}=z^{2}(1+{\frac {1}{z}}+{\frac {1}{2!z^{2}}}+{\frac {1}{3!z^{3}}}+\ldots )=}$

${\displaystyle =z^{2}+z+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!z}}+\ldots +{\frac {1}{(n+2)!z^{n}}}+\ldots ,\quad z\in \mathbb {C} \backslash \{0\}.}$

Pierwsze trzy składniki stanowią część regularną szeregu, kolejne składają się na część osobliwą.