Funkcja analityczna

Funkcja analityczna na zbiorze ${\displaystyle D}$ – funkcja dająca się rozwinąć w szereg Taylora^[1] w otoczeniu każdego punktu należącego do ${\displaystyle D.}$

Definicja

Funkcja ${\displaystyle f}$ jest analityczna na zbiorze otwartym ${\displaystyle D}$ w sensie rzeczywistym (zespolonym), jeśli dla każdego punktu ${\displaystyle x_{0}}$ należącego do ${\displaystyle D}$ zachodzi wzór

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-x_{0})^{n},}$

gdzie ${\displaystyle a}$ jest ciągiem liczb rzeczywistych (odpowiednio zespolonych), a powyższy szereg jest zbieżny do ${\displaystyle f(x)}$ dla każdego ${\displaystyle x}$ z otoczenia ${\displaystyle x_{0}.}$

Własności

• Suma, różnica, iloczyn i złożenie funkcji analitycznych są funkcjami analitycznymi.
• Jeżeli funkcja analityczna nie ma miejsc zerowych, to jej odwrotność jest funkcją analityczną.
• Funkcja odwrotna do funkcji analitycznej, która jest odwracalna i jej pochodna nie ma miejsc zerowych jest funkcją analityczną.

Przykłady

• Wszystkie wielomiany i funkcje wykładnicze są funkcjami analitycznymi na całej płaszczyźnie zespolonej.
• Funkcje wymierne ciągłe są analityczne w sensie rzeczywistym.
• Logarytm jest analityczny w sensie rzeczywistym. Na płaszczyźnie zespolonej jest nieciągły na niedodatniej półprostej rzeczywistej.

Funkcje analityczne zmiennej zespolonej

Pojęcie funkcji analitycznej różni się zasadniczo dla funkcji zespolonej. Wiele twierdzeń odnoszących się dla funkcji analitycznych w sensie zespolonym jest nieprawdziwych dla funkcji analitycznych w sensie rzeczywistym. Na przykład biorąc pod uwagę funkcję ${\displaystyle f}$ zdefiniowaną jako

${\displaystyle f(z)={\frac {1}{z^{2}+1}}.}$

Według twierdzenia Liouville’a każda funkcja analityczna i ograniczona jest równa stałej, co w przypadku ${\displaystyle f}$ jest fałszem.

Dlatego najczęściej funkcję analityczną w sensie zespolonym nazywa się holomorficzną, jako że każda funkcja analityczna jest nieskończenie wiele razy różniczkowalna. Ponadto jeśli funkcja jest analityczna w sensie zespolonym na całej płaszczyźnie zespolonej, mówi się wtedy o funkcji całkowitej.

Funkcja analityczna (w sensie zespolonym) na ${\displaystyle \mathbb {C} }$ jest rozwijalna w szereg Taylora który jest zbieżny na ${\displaystyle \mathbb {C} .}$ Nie jest to jednak prawdą dla funkcji zmiennej rzeczywistej. Dla przykładu funkcja ${\displaystyle f}$ jest analityczna na ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ lecz nie da się jej rozwinąć w szereg Taylora zbieżny na całym zbiorze ${\displaystyle \mathbb {R} .}$