Twierdzenie Cevy

Twierdzenie Cevy – twierdzenie geometrii płaskiej sformułowane i udowodnione przez matematyka włoskiego Giovanniego Cevę w 1678 roku^[1]. Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe i także zostało udowodnione przez Cevę. Jego uogólnieniem jest twierdzenie Ponceleta.

Przypadek 1.: trzy proste mają wspólny punkt O wewnątrz ABC

Przypadek 2.: trzy proste mają wspólny punkt O na zewnątrz ABC

Treść

Dany jest trójkąt ${\displaystyle ABC}$ oraz punkty ${\displaystyle D\in BC,E\in CA,F\in AB.}$ Jeżeli trzy proste ${\displaystyle AD,BE}$ i ${\displaystyle CF}$ przecinają się w jednym punkcie lub są równoległe, to^[1][2]:

${\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1}$

Na drugim z rysunków będących ilustracjami twierdzenia widać, iż punkt przecięcia się prostych ${\displaystyle O}$ może leżeć poza trójkątem.

Dowód

Przyjmijmy, że:

${\displaystyle x={\frac {|BD|}{|DC|}},\;y={\frac {|CE|}{|EA|}},\;z={\frac {|AF|}{|FB|}}}$

Wtedy:

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {P_{\Delta ADB}}{P_{\Delta ADC}}}}$

oraz

${\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {P_{\Delta ODB}}{P_{\Delta ODC}}}}$

Z tego wynika, że

${\displaystyle x={\frac {P_{\Delta AOB}}{P_{\Delta AOC}}}}$

Analogicznie:

${\displaystyle y={\frac {P_{\Delta COB}}{P_{\Delta AOB}}}}$

${\displaystyle z={\frac {P_{\Delta AOC}}{P_{\Delta COB}}}}$

Zatem:

${\displaystyle x\cdot y\cdot z={\frac {P_{\Delta AOB}}{P_{\Delta AOC}}}\cdot {\frac {P_{\Delta COB}}{P_{\Delta AOB}}}\cdot {\frac {P_{\Delta AOC}}{P_{\Delta COB}}}}$

Po skróceniu otrzymujemy:

${\displaystyle x\cdot y\cdot z=1,}$

ale

${\displaystyle x\cdot y\cdot z={\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}}$

więc:

${\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}\cdot {\frac {|BD|}{|DC|}}\cdot {\frac {|CE|}{|EA|}}=1}$

Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Cevy jest prawdziwe przy dodatkowym założeniu, że proste ${\displaystyle AD,}$ ${\displaystyle BE}$ i ${\displaystyle CF}$ nie są równoległe^[3]. Załóżmy, że punkty ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle E}$ i ${\displaystyle F}$ spełniają powyższe równanie. Na mocy dodatkowego założenia bez straty ogólności można założyć, że prosta ${\displaystyle AD}$ nie jest równoległa do prostej ${\displaystyle BE.}$ Niech ${\displaystyle AD}$ i ${\displaystyle BE}$ przecinają się w ${\displaystyle O}$ i niech ${\displaystyle CO}$ przecina ${\displaystyle AB}$ w ${\displaystyle F'.}$ Z udowodnionej przed chwilą implikacji,

${\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}$

Z porównania dwóch ostatnich równań jest

${\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}.}$

Po dodaniu jedynki do obu stron i wykorzystaniu równości ${\displaystyle AF'+F'B=AF+FB=AB,}$ zachodzi

${\displaystyle {\frac {AB}{F\ 'B}}={\frac {AB}{FB}}.}$

A więc ${\displaystyle F'B=FB,}$ czyli ${\displaystyle F}$ i ${\displaystyle F'}$ pokrywają się (ponieważ na wspólnej półprostej ${\displaystyle AB}$ o początku w ${\displaystyle B}$). A więc ${\displaystyle AD,}$ ${\displaystyle BE}$ i ${\displaystyle CF=CF'}$ przecinają się w ${\displaystyle O.}$

Zastosowania

Twierdzenie Cevy i doń odwrotne mają wiele zastosowań w geometrii. Na przykład za pomocą twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Cevy można łatwo dowieść, że w każdym trójkącie w jednym punkcie przecinają się wysokości, środkowe, dwusieczne (są to tzw. proste Cevy)

Twierdzenie Cevy dla czworościanu[4]

Niech ${\displaystyle A',B',C',D'}$ oznaczają punkty czworościanu ${\displaystyle ABCD}$ leżące odpowiednio wewnątrz odcinków ${\displaystyle AB,BC,CD,DA.}$ Załóżmy, że płaszczyzny ${\displaystyle ABC',BCD',CDA',DAB'}$ przecinają się w jednym punkcie. Wówczas zachodzi równość:

${\displaystyle {\frac {AA'}{A'B}}{\frac {BB'}{B'C}}{\frac {CC'}{C'D}}{\frac {DD'}{D'A}}=1}$

Dowód polega na zauważeniu, że punkt przecięcia płaszczyzn leży zarówno na prostej ${\displaystyle A'C',}$ jak i ${\displaystyle B'D',}$ które są przecięciami dwóch z tych płaszczyzn. Stąd wynika, że ${\displaystyle A'B'C'D'}$ leżą na jednej płaszczyźnie, a z twierdzenia Menelaosa dla czworościanu – teza.

Twierdzenie odwrotne, mówiące że jeśli spełniona jest równość

${\displaystyle {\frac {AA'}{A'B}}{\frac {BB'}{B'C}}{\frac {CC'}{C'D}}{\frac {DD'}{D'A}}=1,}$

to płaszczyzny ${\displaystyle ABC',BCD',CDA',DAB'}$ przecinają się w jednym punkcie, jest również prawdziwe.

Zobacz też

• twierdzenie Menelaosa
• wersja trygonometryczna twierdzenia Cevy
• twierdzenie van Aubela