Twierdzenie Heinego-Cantora

Twierdzenie Heinego-Cantora – nazwane na cześć Heinricha Heinego oraz Georga Cantora twierdzenie mówiące że każda funkcja ciągła na przestrzeni zwartej jest jednostajnie ciągła.

Dowód

Niech ${\displaystyle f:X\to Y}$ będzie funkcją ciągłą działającą z przestrzeni zwartej ${\displaystyle (X,\varrho )}$ w przestrzeń metryczną ${\displaystyle (Y,\sigma ).}$ Ustalmy ${\displaystyle \varepsilon >0.}$

Z ciągłości ${\displaystyle f}$ dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ istnieje liczba ${\displaystyle \delta _{x}>0}$ taka, że ${\displaystyle \sigma (f(x),f(y))<\varepsilon /2}$ dla każdego ${\displaystyle y}$ z kuli ${\displaystyle K(x,\delta _{x}).}$

Na mocy zwartości ${\displaystyle X}$ z pokrycia ${\displaystyle \{K(x,\delta _{x}/2):x\in X\}}$ można wybrać podpokrycie skończone ${\displaystyle K(x_{1},\delta _{x_{1}}/2),\dots ,K(x_{k},\delta _{x_{k}}/2).}$

Niech ${\displaystyle \delta ={\frac {1}{2}}\min\{\delta _{x_{1}},\dots ,\delta _{x_{k}}\}.}$ Wówczas na mocy nierówności trójkąta dla dowolnych ${\displaystyle x,y\in X}$ takich, że ${\displaystyle \varrho (x,y)<\delta ,}$ istnieje punkt ${\displaystyle x_{i}}$ taki, że ${\displaystyle x,y\in K(x_{i},\delta _{x_{i}}),}$ ponadto: ${\displaystyle \sigma (f(x),f(y))\leqslant \sigma (f(x),f(x_{i}))+\sigma (f(y),f(x_{i}))<\varepsilon /2+\varepsilon /2=\varepsilon .}$

To dowodzi, że ${\displaystyle f:X\to Y}$ jest jednostajnie ciągła^[1]. ${\displaystyle _{\square }}$

Historia

Według opracowania Rusnocka i Kerra-Lawsona, Heine opublikował pierwszą definicję jednostajnej ciągłości (1870) i dowód twierdzenia (1872), nie przypisując sobie oryginalności. Zbliżone konstrukcje występowały implicite już wcześniej, m.in. u Bolzana i Dirichleta^[2]. Koncepcje Heinego rozwijały się w tym obszarze w tandemie ze współczesnymi im publikacjami Cantora^[3].