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Energia potencial gravitacional

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A força gravitacional mantém os planetas em órbita ao redor do sol.
A força gravitacional mantém os planetas em órbita ao redor do sol.

A energia gravitacional é a energia potencial associada ao campo gravitacional. De acordo com a mecânica clássica, o potencial gravitacional existe entre duas ou mais massas (ou outras formas de energia-momento). A conservação de energia requer que este potencial seja sempre negativo.[1]

Na relatividade geral, a energia gravitacional é modelada via o pseudotensor Landau-Lifshitz,[2] que permite que as leis de conservação de energia-momento da mecânica clássica sejam retidas.

Expressão genérica

  • Corpos pontuais:

Sabe-se que o campo das forças gravitacionais entre dois corpos pontuais 1 e 2, cuja posição relativa e o vetor é:

onde G representa a constante de gravitação universal, m1 e m2 representam as massas em interação, representa o vetor que localiza uma das massas em relação à outra e representa o módulo (tamanho) do vetor , ou seja, a distância entre as massas.

Sendo o campo gravitacional um campo conservativo, é possível definir o seu potencial como uma função tal que:

Partindo da definição e operando em coordenadas cartesianas tem-se que:

Logo, a função potencial é:

Da expressão acima, é possível perceber que a energia potencial depende da distância entre os dois corpos sem contudo levar em consideração o vetor-posição de um em relação ao outro. Então pode ser escrita como:

Considerando que se saiba que o campo gravitacional é conservativo, também é possível determinar o potencial através da expressão:

cujo resultado é igual ao determinado anteriormente.

  • Corpos extensos:

Para determinar-se a interação gravitacional entre corpos extensos é necessário proceder-se ao cálculo de um integral de volume sobre os dois corpos a fim de se determinar a soma das interações gravitacionais entre os infinitos diferenciais de massa nos quais se dividem os corpos. Tal cálculo é dependente da geometria dos corpos, podendo ser complexo em certos casos. Contudo Newton mostrou, com o uso do cálculo diferencial e integral, que pontos externos a uma esfera com distribuição simétrica de massa se encontram sujeitos a potenciais gravitacionais por ela determinados completamente análogos àqueles que seriam determinados por uma partícula pontual localizada no centro da esfera, desde que a essa partícula se associe uma massa igual à massa de toda a esfera original. Newton demonstrou também que a expressão geral acima é válida para corpos esféricos que apresentem distribuições de massa (densidades) com simetria esférica (formado por cascas homogêneas). Esta expressão pode assim, por exemplo, ser utilizada para aproximar com alta precisão a energia potencial armazenada no sistema Terra - Lua, sendo que a distância a considerar-se é, neste caso, a distância entre os centros dos astros em questão.

Aproximação para campo gravitacional uniforme

Considerando o campo gravitacional próximo da superfície da Terra como uniforme (assumindo as linhas de campo paralelas e a gravidade sendo constante em todos os pontos), define-se o campo das forças gravitacionais como sendo:

Partindo da definição de potencial, calcula-se o potencial, nesse caso, como sendo:

Ou seja, o potencial gravitacional pode ser calculado, nessa aproximação, pelo produto do peso (massa vezes gravidade) pela altura em que o corpo se encontra.

Nessa aproximação, válida para pequenas variações de altura em torno de um nível de referência, geralmente a superfície da Terra, usa-se necessariamente um determinado nível como referência, sendo comum adotar-se o nível mais baixo no problema como o ponto de energia potencial zero, o nível do solo, a exemplo. Sendo a energia potencial gravitacional uma grandeza escalar cujo valor depende do nível de referência escolhido, é possível que a energia potencial gravitacional seja negativa, marca atingida se o objeto encontrar-se abaixo do nível adotado como referência, a exemplo.

A expressão para campos uniformes anterior pode também ser deduzida da expressão geral fazendo-se uma expansão em série da mesma e retendo-se apenas o termo em primeira ordem na altura.

Referências

  1. Alan Guth The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (1997), Random House, ISBN 0-224-04448-6 Appendix A: Gravitational Energy demonstrates the negativity of gravitational energy.
  2. Lev Davidovich Landau & Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7

Ver também

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