Conjunto denso em lugar nenhum

Em topologia, um subconjunto ${\displaystyle S}$ de um espaço topológico ${\displaystyle X}$ é dito denso em lugar nenhum (ou ainda, nunca denso) se o interior do fecho de ${\displaystyle S}$ é vazio. Em símbolos, se ${\displaystyle (X,\tau )\,}$ é um espaço topológico, um conjunto ${\displaystyle S\subset X\,}$ é dito denso em lugar nenhum se:

${\displaystyle {\text{int}}\left({\overline {S}}\right)=\emptyset }$

Note que a ordem das operações é importante. Por exemplo, o conjunto dos números racionais, é um subconjunto de ${\displaystyle \mathbb {R} }$ para o qual o fecho do interior é vazio, mas nem por isso os números racionais formam um conjunto denso em lugar nenhum. De fato, ele é um conjunto denso em ${\displaystyle \mathbb {R} }$, e está é justamente a noção oposta.

Exemplos

Os números inteiros formam um subconjunto da reta real ${\displaystyle \mathbb {R} }$ que é denso em lugar nenhum.

Propriedades

• A interseção de conjuntos nunca densos é um conjunto nunca denso.

Veja também

• Espaço de Baire
• Conjunto magro
• Teorema da categoria de Baire

Ligações externas

• Alguns conjuntos densos em lugar nenhum que têm medida positiva (em inglês)

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