Cupolă pentagonală

În geometrie cupola pentagonală este o cupolă la care fața opusă bazei este un pentagon, iar baza este un decagon. Este poliedrul Johnson J₅. Poate fi obținută prin divizarea unui rombicosidodecaedru. Având 12 fețe, este un dodecaedru, care însă nu este nici regulat, nici uniform.

Cupolă pentagonală
(model 3D)
Descriere
Tip	poliedru Johnson J4 – J5 – J6
Fețe	12 (5 triunghiuri echilaterale,       5 pătrate,       1 pentagon regulat,       1 decagon regulat)
Laturi (muchii)	25
Vârfuri	15
χ	2
Configurația vârfului	10 (3.4.10); 5 (3.4.5.4)
Grup de simetrie	C5v, [5], (*55), ordin 10
Arie	≈ 16,580 a2   (a = latura)
Volum	≈   2,324 a3   (a = latura)
Proprietăți	convexă
Desfășurată

Mărimi asociate

Următoarele formule pentru înălțime h, arie A, volum V și raza sferei circumscrise R sunt stabilite pentru lungimea laturilor tuturor poligoanelor (care sunt regulate) a:^[1][2]

${\displaystyle h={\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{10}}}a\approx 0,525731\,a\,,}$

${\displaystyle A={\frac {20+5{\sqrt {3}}+{\sqrt {5\left(145+62{\sqrt {5}}\right)}}}{4}}\,a^{2}\approx 16,579749\,a^{2},}$

${\displaystyle V={\frac {5+4{\sqrt {5}}}{6}}\,a^{3}\approx 2,32405\,a^{3},}$

${\displaystyle R={\sqrt {{\frac {11}{4}}+{\sqrt {5}}\,}}\,a\approx 2,232951\,a\,.}$

Poliedre înrudite

Poliedru dual

Dualul cupolei pătrate are 10 fețe triunghiulare și 5 fețe romboidale:

Dualul cupolei pentagonale	Desfășurata dualului	model 3D

Alte cupole convexe

Familia cupolelor convexe

n	2	3	4	5	6
Schläfli	{2} || t{2}	{3} || t{3}	{4} || t{4}	{5} || t{5}	{6} || t{6}
Cupolă	Cupolă digonală	Cupolă triunghiulară	Cupolă pătrată	Cupolă pentagonală	Cupolă hexagonală (plată)
Poliedre uniforme înrudite	Prismă triunghiulară	Cubocta- edru	Rombi- cubocta- edru	Romb- icosidodeca- edru	Pavare rombi- trihexagonală

Cupolă pentagramică autointersectată

Model 3D al cupolei pentagramice autointersectate

Cupola pentagramică autointersectată este unul dintre izomorfele neconvexe ale poliedrelor Johnson, fiind identică din punct de vedere topologic cu cupola pentagonală convexă. Poate fi obținută prin divizarea marelui rombicosidodecaedru neconvex sau cvasirombicosidodecaedrului, la fel cum cupola pentagonală poate fi obținută prin divizarea rombicosidodecaedrului. Ca în toate cupolele, baza are de două ori mai multe laturi și vârfuri decât fața opusă bazei. Poligonul bazei este o decagramă.

Poate fi văzută ca o cupolă cu o bază pentagramică retrogradă, astfel încât pătratele și triunghiurile se conectează la bază în sens opus cupolei pentagramice stelate, astfel intersectându-se.