Formă biliniară

Fie V un spațiu vectorial peste un corp comutativ K. Se numește formă biliniară pe spațiul vectorial V o aplicație ${\displaystyle g:V\times V\rightarrow K}$ liniară în ambele argumente, adică care satisface condițiile:

1. ${\displaystyle g(\alpha x+\beta y,\;z)=\alpha g(x,z)+\beta g(y,z);}$
2. ${\displaystyle g(x,\;\alpha y+\beta z)=\alpha g(x,y)+\beta g(x,z);}$

pentru orice ${\displaystyle \forall x,y,z\in V}$ și orice ${\displaystyle \alpha ,\beta \in K.}$

Mulțimea formelor biliniare definite pe spațiul vectorial V, prevăzută cu operațiile de adunare și înmulțire a funcțiilor, formează un spațiu vectorial peste K numit spațiul dual.

Exemple

Un exemplu important de aplicație biliniară este produsul scalar canonic pe ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ adică aplicația ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle$ :\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } definită prin: pentru orice ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$ și ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}),}$

${\displaystyle \langle x,y\rangle =x_{1}y_{2}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.}$

Mai general, orice produs scalar este o formă biliniară: de fapt, un produs scalar abstract real este, prin definiție, orice formă biliniară simetrică pozitiv-definită nedegenerată (a se vedea mai jos).

Reprezentare matricială

Fie ${\displaystyle V_{n}}$ un spațiu vectorial n-dimensional și ${\displaystyle B=\{e_{1},e_{2},\cdots ,e_{n}\}}$ o bază a lui ${\displaystyle V_{n}}$. Fie x și y doi vectori oarecare ${\displaystyle \textstyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$ și ${\displaystyle \textstyle y=\sum _{i=1}^{n}y_{i}e_{i}.}$ Atunci, expresia formei biliniare g est dată de:

${\displaystyle g(x,y)=g{\Big (}\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i},\;y{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g(e_{i},y)}$

${\displaystyle =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\,g{\Big (}e_{i},\;\sum _{j=1}^{n}y_{j}e_{j}{\Big )}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}x_{i}\,g(e_{i},e_{j})\,y_{j}}$

${\displaystyle =\sum _{1\leq i,j\leq n}a_{ij}\,x_{i}\,y_{j},}$

unde s-a notat: ${\displaystyle a_{ij}=g(e_{i},e_{j}).}$

Proprietăți

O formă biliniară ${\displaystyle g:V\times V\rightarrow K}$ se numește:

• simetrică dacă ${\displaystyle \forall x,y\in V,\;g(x,y)=g(y,x).}$
• antisimetrică dacă ${\displaystyle \forall x,y\in V,\;g(x,y)=-g(y,x).}$
• definită dacă ${\displaystyle g(x,x)=0\implies x=0.}$

Dacă corpul comutativ K este complet ordonat — adică dacă există o relație de ordine totală ${\displaystyle \leq }$ pe K — atunci ${\displaystyle g}$ se numește:

• pozitivă dacă ${\displaystyle \forall x\in V,\;g(x,x)\geq 0}$.

Vezi și

• Formă pătratică
• Spațiu metric

Legături externe

• en Wolfram MathWorld
• fr Math.Unice.fr Arhivat în 4 martie 2016, la Wayback Machine.