Характеристика (алгебра)
Из Википедии, свободной энциклопедии
Из Википедии, свободной энциклопедии
Характеристика — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств колец или полей.
Для кольца характеристикой называется наименьшее целое такое, что для каждого элемента выполняется равенство:
а если такого числа не существует, то предполагается .
Если кольцо содержит натуральные числа, умножение определено обычным способом, и кольцо имеет единицу, то характеристика может быть определена как наименьшее ненулевое натуральное число такое, что ; если же такого не существует, то характеристика равна нулю.
Характеристики кольца целых чисел , поля рациональных чисел , поля вещественных чисел , поля комплексных чисел равны нулю. Характеристика кольца вычетов равна . Характеристика конечного поля , где — простое число, — положительное целое, равна .
Тривиальное кольцо с единственным элементом — единственное кольцо с характеристикой .
Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля есть либо , либо простое число . В первом случае поле содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел , во втором случае поле содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в ).
Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в и алгебраическое замыкание поля .
Если — коммутативное кольцо простой характеристики , то для всех , . Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.
Для улучшения этой статьи желательно: |
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.