Абстрактный клеточный комплекс

Абстрактный клеточный компле́кс — множество с топологией Александрова^[англ.], в котором неотрицательное целое число, называемое размерностью, присвоено каждой точке. Понятие используется в цифровой топологии^[англ.] для задач анализа двумерных и трёхмерных цифровых изображений. Комплекс называется «абстрактным» потому, что его точки, называемые «клетками», не являются подмножествами хаусдорфова пространства, как это требуется для клеточных комплексов, применяемых в алгебраической топологии и теории гомотопий.

История

Сходные конструкции с подобным уровнем общности рассматривались Листингом (1862)^[1], Штайницем (1908)^[2], Такером (1933)^[3], Рейдемейстером (1938)^[4].

Штайниц определил абстрактный клеточный комплекс как тройку ${\displaystyle C=(E,B,dim)}$, где ${\displaystyle E}$ — произвольное множество, ${\displaystyle B}$ — антисимметричное, иррефлексивное и транзитивное бинарное отношение ограничивания между элементами множества ${\displaystyle E}$, а ${\displaystyle dim:E\to \mathbb {N} }$ — функция, присваивающая неотрицательное число каждому элементу из ${\displaystyle E}$ таким образом, что если ${\displaystyle B(a,b)}$, то справедливо: ${\displaystyle dim(a)<dim(b)}$. «Клеточный комплекс» в определении Уайтхеда (1939) требует отделимости пространства и гомеоморфность клеток единичному евклидову кубу соответствующей размерности^[5], в дальнейшем используя эту конструкцию для определения CW-комплекса^[6]. Александров в книге «Комбинаторная топология» (1941, первое издание вышло в 1947 году^[7]), определяя «клеточный комплекс», наложил требования наличия в комплексе противоположной клетки и определённости коэффициента инцидентности между каждой парой клеток соседних размерностей (тем самым максимально приблизив к симплициальному комплексу).

С 1989 года абстрактные комплексы в определении Штайница используются в исследованиях проблематики компьютерного анализа изображений^[8][9][10].

Свойства

Топология абстрактных комплексов основана на частичном порядке на множестве его точек или клеток. В отличие от симплициального комплекса, элементы абстрактного комплекса не являются симплексами, в частности, ${\displaystyle n}$-мерный элемент абстрактного комплекса не обязательно имеет ${\displaystyle n+1}$ нульмерных сторон и не каждое подмножество множества нульмерных сторон является клеткой. Благодаря этому понятие абстрактного клеточного комплекса может быть применено к двух- и трёхмерным решёткам, широко используемым в обработке изображений, тогда как для симплициального комплекса это невозможно. В абстрактном комплексе можно ввести координаты, потому что существуют несимплициальные комплексы, являющиеся декартовыми произведениями таких «линейных» связных одномерных комплексов, в которых каждая (кроме двух) нульмерная клетка ограничивает ровно две одномерные клетки. Только декартовы комплексы позволяют ввести такие координаты, что каждая клетка имеет набор координат и две различные клетки имеют всегда разные наборы координат. Набор координат может служить «именем» (идентификатором) клетки, что важно для обработки комплексов. Абстрактные комплексы позволяют кроме того ввести классическую топологию (топологию Александрова) в решётки, которые служат основой обработки изображений, благодаря чему становится возможным дать точные определения топологических понятий связности и границы подмножества. Размерность клеток определяется в общем случае иначе, чем в симплициальных комплексах.

Основное отличие от клеточных комплексов, применяемых в алгебраической топологии в том, что абстрактный комплекс не накладывает требований к отделимости пространства. Это важно для работы с компьютером, которому невозможно предъявить недискретные отделимые пространства.